Matura rozszerzona maj 2025

, aby rozwiązać online.

2 pkt

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność

N

populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

N (t) = N_{0} \cdot k^{t} dla t \geq 0

gdzie:

N_{0}

– liczebność populacji w chwili

t = 0

rozpoczęcia obserwacji,

k

– stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,

t

– czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili

t = 0

rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa

10000

, a po dwóch godzinach była równa

15625

.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

25%

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

(a + 2 b)^{3} - 8 a^{2} b - 16 a b^{2} = (a - 2 b)^{2} (a + 2 b) > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

3 pkt

W trójkącie równobocznym

A B C

punkt

D

leży na boku

B C

. Stosunek pola trójkąta

A B D

do pola trójkąta

A D C

jest równy

\frac{3 - 1}{2}

.

Oblicz miarę kąta

D A C

. Zapisz obliczenia.

∠ D A C = 45°

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

3 pkt

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

P (A ∣ B) = \frac{9}{25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ - 2 \cdot ∣ x + 3∣ < - 2

Zapisz obliczenia.

x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

4 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu

a_{1} + a_{3} = 20

a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 328

.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

S = 27

lub

S = \frac{27}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

W trapezie

A B C D

o podstawach

A B

C D

punkt

E

jest środkiem ramienia

A D

, a punkt

F

jest środkiem ramienia

B C

trapezu. Stosunek pola trapezu

E F C D

do pola trapezu

A B F E

jest równy

\frac{1}{2}

.

Wykaż, że

\frac{∣ C D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{1}{5}

\frac{∣ C D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{1}{5}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są okręgi

O_{1}

oraz

O_{2}

o równaniach:

•

O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5

•

O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45

Te okręgi przecinają się w punktach

A

oraz

B

. Punkt

A

ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt

M

spełnia warunek

A M = - 2 \cdot B M

.

Oblicz współrzędne punktów

A

B

oraz

M

. Zapisz obliczenia.

A = (\frac{16}{5}, - \frac{13}{5})

B = (- 1, - 2)

M = (\frac{2}{5}, - \frac{11}{5})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

5 pkt

Rozwiąż równanie

3 cos^{2} x + 3 sin (2 x) - 3 sin^{2} x = 0

w przedziale

[- π, π]

. Zapisz obliczenia.

x \in {- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Krawędź boczna

S A

jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość

334

. Cosinus kąta

β

między ścianami bocznymi

C D S

B C S

tego ostrosłupa jest równy

(- \frac{9}{25})

.

Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

P_{b} = 918

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 (2 m + 1) x + m + 8

dla każdej liczby rzeczywistej

x

, gdzie

m

jest liczbą rzeczywistą różną od

2

.

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dokładnie dwa miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

tego samego znaku, które spełniają warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180

Zapisz obliczenia.

m \in (- 8, - 3) \cup (1, \frac{3}{2}]

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12.1

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.

Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

r^{2} = \frac{25 h ^{2}}{h ^{2} - 25}

, więc

V (h) = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12.2

4 pkt

Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

h = 53

, najmniejsza objętość

V_{min} = \frac{125 3 π}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie