Matura rozszerzona maj 2017 (F. 2005)

, aby rozwiązać online.

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 1∣ + ∣ x - 5∣ \leq 10 - 2 x

x \in (- \infty, 3 ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

5 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = 2 x^{3} + a x^{2} - 13 x + b

. Liczba

3

jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu

W (x)

przez

(x + 2)

jest równa

20

. Oblicz współczynniki

a

b

oraz pozostałe pierwiastki wielomianu

W (x)

a = - 5

b = 30

, pozostałe pierwiastki:

2

oraz

- \frac{5}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

, przy czym

x_{1} < x_{2}

, spełniające warunek

(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0

m \in (- \frac{13}{2}, - 6) \cup (- 6, - \frac{11}{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

6 pkt

Liczby

a

b

c

są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa

27

. Ciąg

(a - 2, b, 2 c + 1)

jest geometryczny. Wyznacz liczby

a

b

c

a = 5

b = 9

c = 13

lub

a = \frac{31}{2}

b = 9

c = \frac{5}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

bok

A B

ma długość

c

, długość boku

B C

jest równa

a

oraz

∢ A B C = β

. Dwusieczna kąta

A B C

przecina bok

A C

trójkąta w punkcie

E

.
Wykaż, że długość odcinka

B E

jest równa

\frac{2 a c \cdot cos \frac{β}{2}}{a + c}

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa

30

600

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku:

2

kule białe i

3

kule czerwone, a w drugim pudełku:

1

kulę białą i

4

kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.