Matura podstawowa czerwiec 2026, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

\frac{3 - 64 + 3 27}{5 - 32}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{1}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

\frac{9 ^{4}}{3 ^{- 20}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

9^{14}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

lo g_{5} 325

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{2}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

x^{3} - 2 x^{2} + x

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

A.

x (x - 1)^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n \geq 0

liczba

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}

jest podzielna przez

19

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2} = 19 \cdot 3 \cdot 7^{n}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dane są wielomiany

W

,

V

oraz

H

określone wzorami:

W (x) = x^{4}

V (x) = x^{3} + 1

H (x) = x - 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian

W (x) - V (x) \cdot H (x)

jest określony wzorem

Poprawna odpowiedź

A.

2 x^{3} - x + 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

- 2 (x + 3) (x - 2) > 0

jest przedział

Poprawna odpowiedź

B.

(- 3, 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Dane jest równanie

\frac{3 x + 4}{x - 1} = \frac{x + 3}{3 x}

gdzie

x \neq = 0

i

x \neq = 1

.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału

(- \infty, - \frac{2}{3})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{3}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest

198

.
Gdyby w tym parku rosło o

18

drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam

3

razy więcej niż drzew iglastych.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:

x

– liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,

y

– liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby

x

drzew iglastych oraz liczby

y

drzew liściastych, jest

Poprawna odpowiedź

D.

{x + y = 198 3 (x + 18) = y

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x - 4

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ jest rosnąca.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przecina oś $O y$ w punkcie $(0, 4)$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{2} - k x + 6

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba

2

jest miejscem zerowym funkcji

f

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

k

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{3} x + \frac{14}{3} \frac{3}{4} x + \frac{3}{2} - 3 x + 9 dla x \in [- 5, - 2) dla x \in [- 2, 2] dla x \in (2, 4)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Funkcja

f

ma dokładnie ……… miejsca zerowe.
2. Funkcja

f

osiąga największą wartość dla argumentu ……… .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

3

; 2. Argument

= 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.2

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{3} x + \frac{14}{3} \frac{3}{4} x + \frac{3}{2} - 3 x + 9 dla x \in [- 5, - 2) dla x \in [- 2, 2] dla x \in (2, 4)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział ………………… .
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ………………… .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

[- 5, 4)

; 2.

[- \frac{7}{2}, 3]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 7)

.

Liczba

t

spełnia warunki:

f (t) = f (- 9)

oraz

t \neq = - 9

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

t

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 7)

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g (x) = f (x - 5)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji

g

ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

D.

(2, 7)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.1

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 2 a_{n + 1} = a_{n} - 6

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

(- 22)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.2

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 2 a_{n + 1} = a_{n} - 6

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg $(a_{n})$ jest malejący.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

2 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(7, a_{2}, a_{3}, a_{4})

jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

54

.

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{2} = \frac{34}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{2}, 2, a_{4}, a_{5})

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn

a_{1} \cdot a_{2} \cdot 2 \cdot a_{4} \cdot a_{5}

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

32

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie

α

, że

sin α = \frac{1}{4}

.
Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość

8

.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

.
Odcinek

B D

jest średnicą tego okręgu oraz

∣∠ A B D ∣ = 18°

.
Punkt

D

leży na krótszym łuku

C A

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

B C A

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

72°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie

A

przecięto dwiema prostymi równoległymi

k

oraz

l

.
Prosta

k

przecina ramiona tego kąta w punktach

B

oraz

C

.
Prosta

l

przecina ramiona tego kąta w punktach

D

oraz

E

.
Punkty

B

oraz

D

leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty

C

oraz

E

leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto

∣ A B ∣ = 6

,

∣ B C ∣ = 4

oraz

∣ B D ∣ = 2

(zobacz rysunek).

Odcinek

D E

ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{16}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

2 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

punkt

D

leży na boku

A B

, a punkt

E

leży na boku

A C

.
Odcinek

B E

jest środkową trójkąta

A B C

, a odcinek

C D

jest wysokością tego trójkąta.
Ponadto odcinki

D B

oraz

D E

mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że

∣∠ C A B ∣ = 2 \cdot ∣∠ A B E ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣∠ C A B ∣ = 2 \cdot ∣∠ A B E ∣

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Kąt o mierze

α

jest rozwarty oraz

sin α = \frac{3}{5}

.

Cosinus kąta o mierze

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

(- \frac{4}{5})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

3 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

, w którym

D = (6, 19)

. Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x + 9

, a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 4 x - 5

. Punkt

K = (10, 14)

jest środkiem odcinka

A B

. Przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S

.

Oblicz współrzędne punktu

S

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

S = (11, 18)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 3, 1)

oraz

B = (1, - 3)

są kolejnymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

.

Obwód kwadratu

A B C D

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

162

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

odcinek o końcach

A = (1, 1)

oraz

B = (3, - 1)

jest średnicą okręgu

O

.

Okrąg

O

jest określony równaniem

Poprawna odpowiedź

C.

(x - 2)^{2} + y^{2} = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość

12

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

62

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Tworząca stożka o promieniu podstawy

3

ma długość

6

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60°$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

4 pkt

Odcinek

A D

jest wysokością walca, a odcinek

A B

jest średnicą podstawy walca.
Odcinek

B D

ma długość

43

. Miara kąta

A B D

jest równa

30°

(zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 183 π

,

P_{c} = 18 π + 123 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

Poprawna odpowiedź

A.

400

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to

9

lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to

13

lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

1 pkt

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dany jest sześcioelementowy zbiór

K = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

. Ze zbioru

K

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od

16

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{7}{30}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

3 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

4

.
Rozważamy wszystkie trójkąty

D E F

spełniające jednocześnie następujące warunki:
• punkt

E

leży na boku

A B

kwadratu

A B C D

• punkt

F

leży na boku

B C

kwadratu

A B C D

•

∣ C F ∣ = \frac{1}{2} \cdot ∣ E B ∣ = x

, gdzie

x \in (0, 2)

(zobacz rysunek).

Niech

P (x)

oznacza pole trójkąta

D E F

w zależności od długości

x

odcinka

C F

.

Wyznacz wzór funkcji

P

zmiennej

x

, gdzie

x \in (0, 2)

. Oblicz długość

x

odcinka

C F

, dla której pole trójkąta

D E F

jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (x) = x^{2} - 2 x + 8

dla

x \in (0, 2)

;

x = 1

Rozwiązanie krok po kroku