W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: x – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim, y – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew iglastych oraz liczby y drzew liściastych, jest
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Funkcja f ma dokładnie ……… miejsca zerowe. 2. Funkcja f osiąga największą wartość dla argumentu ……… .
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ………………… . 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ………………… .
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S. Odcinek BD jest średnicą tego okręgu oraz ∣∠ABD∣=18°. Punkt D leży na krótszym łuku CA (zobacz rysunek).
Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie A przecięto dwiema prostymi równoległymi k oraz l. Prosta k przecina ramiona tego kąta w punktach B oraz C. Prosta l przecina ramiona tego kąta w punktach D oraz E. Punkty B oraz D leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty C oraz E leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto ∣AB∣=6, ∣BC∣=4 oraz ∣BD∣=2 (zobacz rysunek).
W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku AC. Odcinek BE jest środkową trójkąta ABC, a odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki DB oraz DE mają równe długości (zobacz rysunek).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym D=(6,19). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=21x+9, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=4x−5. Punkt K=(10,14) jest środkiem odcinka AB. Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S.
Odcinek AD jest wysokością walca, a odcinek AB jest średnicą podstawy walca. Odcinek BD ma długość 43. Miara kąta ABD jest równa 30° (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.
W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to 9 lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to 13 lat.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
Dany jest sześcioelementowy zbiór K={2,3,4,5,6,7}. Ze zbioru K losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od 16. Zapisz obliczenia.
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki: • punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD • punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD • ∣CF∣=21⋅∣EB∣=x, gdzie x∈(0,2) (zobacz rysunek).
Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF.
Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x∈(0,2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Obliczamy pierwiastek piątego stopnia w mianowniku:
5−32=−2
Podstawiamy i obliczamy wynik:
−2−4+3=−2−1=21
B.9−6
C.914
D.956
C. 914
Zapisujemy 94 jako potęgę liczby 3:
94=(32)4=38
Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmując wykładniki:
3−2038=38−(−20)=328
Zapisujemy wynik jako potęgę liczby 9:
328=(32)14=914
A.61
B.32
C.23
D.6
B. 32
Zapisujemy liczbę pod logarytmem jako potęgę liczby 5 o wykładniku wymiernym:
325=2531=(52)31=532
Obliczamy logarytm, korzystając z definicji:
log5532=32
B.x(x−1)(x+1)
C.(x−1)(x2+1)
D.(x+1)(x−1)2
A. x(x−1)2
Wyłączamy x przed nawias:
x3−2x2+x=x(x2−2x+1)
Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie to kwadrat różnicy:
x2−2x+1=(x−1)2
Zatem:
x3−2x2+x=x(x−1)2
7n+7n+1+7n+2=19⋅3⋅7n
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Dzielimy obie strony nierówności przez (−2), pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny:
−2(x+3)(x−2)(x+3)(x−2)>0/:(−2)<0
Miejsca zerowe wyrażenia to x=−3 oraz x=2. Współczynnik przy x2 w iloczynie (x+3)(x−2) jest dodatni, więc odpowiadająca mu parabola ma ramiona skierowane w górę - szukamy na rysunku zbioru x, dla których wykres jest pod osią Ox, czyli przedziału między miejscami zerowymi
x=−43
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Wszystkich drzew jest łącznie 198, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje:
x+y=198
Gdyby drzew iglastych było o 18 więcej (czyli x+18), to drzew liściastych byłoby 3 razy więcej niż iglastych. Liczba y nie zmienia się, więc:
y=3(x+18)
Otrzymany układ równań odpowiada odpowiedzi D.
PF
Współczynnik kierunkowy funkcji f(x)=3x−4 jest równy 3, czyli jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca (P).
Wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie o odciętej x=0:
f(0)=3⋅0−4=−4
Zatem wykres przecina oś Oy w punkcie (0,−4), a nie (0,4) — stwierdzenie jest fałszywe (F).
A.(−11)
B.(−7)
C.7
D.11
C. 7
Skoro liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f, to f(2)=0. Podstawiamy x=2 do wzoru funkcji:
2⋅22−k⋅2+6=0
Obliczamy:
8−2k+6=0⟹14=2k⟹k=7
1. 3; 2. Argument =2
Szukamy miejsc zerowych w każdym z trzech kawałków. Pierwszy kawałek (x∈[−5,−2)):
34x+314=0⟹4x+14=0⟹x=−27
Liczba −27=−3,5 należy do przedziału [−5,−2), więc jest to miejsce zerowe. Drugi kawałek (x∈[−2,2]):
43x+23=0⟹3x+6=0⟹x=−2
Liczba −2 należy do przedziału [−2,2], więc też jest miejscem zerowym. Trzeci kawałek (x∈(2,4)):
−3x+9=0⟹x=3
Liczba 3 należy do przedziału (2,4), więc jest to trzecie miejsce zerowe. Łącznie funkcja f ma dokładnie 3 miejsca zerowe.
Z wykresu odczytujemy, że funkcja rośnie na przedziale [−2,2] osiągając w punkcie x=2 wartość f(2)=43⋅2+23=3, a następnie maleje. To jest największa wartość funkcji, osiągana dla argumentu x=2.
1. [−5,4); 2. [−27,3]
Dziedziną funkcji f jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
[−5,−2)∪[−2,2]∪(2,4)=[−5,4)
Szukamy argumentów, dla których f(x)≥0 w każdym kawałku. Pierwszy kawałek:
34x+314≥0⟹x≥−27
Po przecięciu z przedziałem [−5,−2) otrzymujemy [−27,−2). Drugi kawałek:
43x+23≥0⟹x≥−2
Po przecięciu z przedziałem [−2,2] otrzymujemy cały ten przedział [−2,2]. Trzeci kawałek:
−3x+9≥0⟹x≤3
Po przecięciu z przedziałem (2,4) otrzymujemy (2,3]. Łącząc wszystkie trzy części otrzymujemy przedział:
[−27,−2)∪[−2,2]∪(2,3]=[−27,3]
A.3
B.9
C.15
D.21
A. 3
Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, czyli prostej x=−3.
Punkty t i −9 dają tę samą wartość funkcji, więc są symetryczne względem x=−3. Odległość punktu −9 od osi symetrii wynosi:
−3−(−9)=6
Punkt t leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
t=−3+6=3
A.(−8,7)
B.(−3,2)
C.(−3,12)
D.(2,7)
D. (2,7)
Wzór g(x)=f(x−5) oznacza przesunięcie wykresu funkcji f o 5 jednostek w prawo wzdłuż osi Ox, bez zmiany współrzędnej y.
Wierzchołek W=(−3,7) przesuwa się więc do punktu:
(−3+5,7)=(2,7)
A.(−4)
B.(−16)
C.(−22)
D.(−28)
C. (−22)
Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, odejmując za każdym razem 6 od poprzedniego wyrazu:
Bok kwadratu AB obliczamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:
∣AB∣=(1−(−3))2+(−3−1)2=16+16=32=42
Obwód kwadratu to poczwórna długość boku:
Obw=4⋅42=162
A.(x−1)2+(y−1)2=8
B.x2+(y−2)2=2
C.(x−2)2+y2=2
D.(x−2)2+y2=8
C. (x−2)2+y2=2
Środek okręgu to środek odcinka AB:
S=(21+3,21+(−1))=(2,0)
Promień to połowa długości średnicy AB:
∣AB∣=(3−1)2+(−1−1)2=4+4=8=22⟹r=2
Zapisujemy równanie okręgu o środku (2,0) i promieniu 2 (czyli r2=2):
(x−2)2+y2=2
C.26
D.62
D. 62
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 12, a każda krawędź boczna też ma długość 12 (ostrosłup jest prawidłowy, więc jego wierzchołek rzutuje się na środek podstawy).
Obliczamy przekątną podstawy i jej połowę (odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu):
d=122,2d=62
Wysokość ostrosłupa h, połowa przekątnej i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
h2+(62)2=122
Obliczamy h:
h2=144−72=72⟹h=72=62
Pb=πrl=π⋅3⋅6=18π,Pp=πr2=π⋅32=9π
Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie: 18π jest dwa razy większe od 9π, więc stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym, czyli dwukrotność kąta między tworzącą a wysokością. Obliczamy sinus tego kąta:
sinα=lr=63=21⟹α=30°
Kąt rozwarcia stożka jest więc równy 2α=60° — drugie stwierdzenie też jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.
V=183π, Pc=18π+123π
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Liczba czterocyfrowa ma postać abcd, gdzie a to cyfra tysięcy, a d to cyfra jedności. Cyfra tysięcy nie może być 0, a z warunku zadania a=d.
Ponieważ liczba ma być parzysta, cyfra jedności d musi być parzysta. Skoro a=d oraz a=0, cyfra a (a zarazem d) może być jedną z: 2,4,6,8 — 4 możliwości.
Cyfra setek b i cyfra dziesiątek c mogą być dowolne, od 0 do 9 — po 10 możliwości każda.
Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb wynosi:
4⋅10⋅10=400
A. 10
Niech n oznacza liczbę uczniów drugiej szkoły. Wtedy w pierwszej szkole jest 3n uczniów.
Sumaryczny wiek uczniów pierwszej szkoły to 3n⋅9=27n, a drugiej szkoły to n⋅13=13n.
Średni wiek wszystkich uczniów to suma wieków podzielona przez łączną liczbę uczniów:
3n+n27n+13n=4n40n=10
A.3
B.3,5
C.4
D.5
C. 4
Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów z każdą oceną: ocena 1 — 2 osoby, ocena 2 — 1 osoba, ocena 3 — 6 osób, ocena 4 — 5 osób, ocena 5 — 7 osób, ocena 6 — 5 osób.
Obliczamy łączną liczbę uczniów:
2+1+6+5+7+5=26
Ponieważ liczba uczniów jest parzysta, medianą jest średnia arytmetyczna 13. i 14. wyrazu uporządkowanego niemalejąco ciągu ocen.
Ustalamy skumulowaną liczbę uczniów: po ocenie 1 mamy 2 uczniów, po ocenie 2 mamy 3, po ocenie 3 mamy 9, po ocenie 4 mamy 14. Zatem zarówno 13., jak i 14. uczeń w uporządkowanym ciągu ma ocenę 4.
Mediana jest więc równa:
24+4=4
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.