Matura rozszerzona czerwiec 2023

, aby rozwiązać online.

2 pkt

Dane są liczby

a = 4^{l o g_{2} 45} oraz b = \frac{lo g _{3} 2023}{lo g _{9} 2023}

Oblicz

a - b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a - b = 2023

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

3 pkt

Wśród

n

osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te

n

osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest

12

razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych

n

osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).

Oblicz

n

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

n = 9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

3 pkt

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe

0, 1

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) \approx 0, 97

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9 x

dla każdego

x \in R

. Punkt

P = (x_{0}, 18)

należy do wykresu funkcji

f

.

Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x_{0} = 2

, styczna:

y = 17 x - 16

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

a

prawdziwa jest nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12

jest prawdziwa dla każdego

a > 0

, ponieważ

a^{3} - 12 a + 16 = (a - 2)^{2} (a + 4) \geq 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Dany jest okrąg

O

. Przez punkt

A

poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

. Przez punkt

B

leżący na odcinku

A P

poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie

D

, która przecięła odcinek

A Q

w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli

∣ A Q ∣ = 5 \cdot ∣ B P ∣

oraz

∣ C D ∣ = 2 \cdot ∣ B D ∣

, to trójkąt

A B C

jest równoramienny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 3 x

, gdzie

x = ∣ B P ∣

, więc trójkąt

A B C

jest równoramienny.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

4 pkt

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2 x - \frac{6 x}{x - 1} + \frac{18 x}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{54 x}{( x - 1 ) ^{3}} + \dots

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej

x

(różnej od

0

i od

1

), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa

\frac{15}{2}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (5 x) + cos x = 0

w zbiorze

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in {- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}, - \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{12}, \frac{π}{4}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

W okrąg o równaniu

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25

wpisano trójkąt

A B C

. Bok

A B

tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu

4 x - 3 y + 2 = 0

. Wysokość

C D

tego trójkąta dzieli bok

A B

tak, że

∣ A D ∣ = 4 \cdot ∣ D B ∣

.

Oblicz pole trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = 20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - (m + 1) x - 2 m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0, x_{2} \neq = 0 oraz \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} < 1

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

5 pkt

Ciąg

(a, b, c)

jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(2 a, 2 b, c + 1)

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek

c - b = 6

.

Oblicz

a

b

oraz

c

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 1, b = 3, c = 9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Czworokąt wypukły

A B C D

jest wpisany w okrąg o promieniu

4

. Kąty

B A D

B C D

są proste (zobacz rysunek). Przekątne

A C

B D

tego czworokąta przecinają się w punkcie

E

tak, że

∣ B E ∣ = 3 \cdot ∣ D E ∣

oraz

∣ B D ∣ = 2 \cdot ∣ A E ∣

.

Oblicz długości boków czworokąta

A B C D

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ A B ∣ = 210, ∣ B C ∣ = 36, ∣ C D ∣ = 10, ∣ A D ∣ = 26

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

6 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne

A B C D E F G H

, w których odcinek łączący punkt

O

przecięcia przekątnych

A C

B D

podstawy

A B C D

z dowolnym wierzchołkiem podstawy

E F G H

ma długość

d

(zobacz rysunek).

a) Wyznacz zależność objętości

V

graniastosłupa od jego wysokości

h

i podaj dziedzinę funkcji

V (h)

.
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V (h) = 2 (d^{2} h - h^{3})

dla

h \in (0, d)

; b)

h = \frac{d}{3} = \frac{3}{3} d

Rozwiązanie krok po kroku