Matura rozszerzona czerwiec 2025 (F. 2015)

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Wielomian

W

jest określony wzorem

W (x) = (23 x - x^{2} + 1)^{2}

.
We wzorze ogólnym tego wielomianu

W (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

współczynnik

c

jest równy

Poprawna odpowiedź

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = x^{2} + x

. Funkcja kwadratowa

g

jest określona wzorem

g (x) = x^{2} - x

.
Wykres funkcji kwadratowej

g

można otrzymać poprzez przesunięcie równoległe wykresu funkcji

f

o wektor

Poprawna odpowiedź

[1, 0]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Zbiorem wszystkich wartości

m

, dla których równanie

∣ x^{2} - x ∣ = m

z niewiadomą

x

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jest

Poprawna odpowiedź

{0} \cup (\frac{1}{4}, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Granica

x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 1}{x}

jest równa

Poprawna odpowiedź

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

W każdym z dwóch pudełek jest

11

kul. W pierwszym pudełku są

4

kule białe i

7

kul czarnych, a w drugim jest

8

kul białych i

3

kule czarne.
Rzucamy sześcienną symetryczną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu oczek. Jeżeli wypadnie pięć lub sześć oczek, to losujemy jedną kulę z pierwszego pudełka, w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z drugiego pudełka.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

606

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Wykaż, że jeżeli

a = lo g_{2} 14

oraz

b = lo g_{2} 27

, to

lo g_{7} 54 = \frac{b + 2}{2 a - 2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Dany jest prostokąt

A B C D

, w którym

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ A D ∣

. Na bokach

A B

B C

C D

oraz

D A

tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio –

K

L

M

oraz

N

(przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta

A B C D

). Czworokąt

K L M N

jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość

L M

tego trapezu jest równoległa do przekątnej

B D

prostokąta.
Wykaż, że stosunek pola trójkąta

M D N

do pola trójkąta

K B L

jest równy

16

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + 2 m x + 2 m - 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

spełniające warunek

m (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2} + 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż równanie

cos (2 x) + 2 cos^{2} (3 x) + cos (4 x) = 0

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in {\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{6}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Na czworokącie wypukłym

A B C D

o bokach długości:

∣ A B ∣ = 3

∣ B C ∣ = 3

∣ C D ∣ = 5

oraz

∣ D A ∣ = 8

, opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

R = \frac{7 3}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

Wielomian

f

zmiennej rzeczywistej

x

jest określony wzorem

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

, gdzie

a, b, c \in R

. Liczba

(- 2)

jest miejscem zerowym tego wielomianu. W układzie współrzędnych

(x, y)

styczna do wykresu wielomianu

f

w punkcie

A

o pierwszej współrzędnej równej

(- 2)

przecina ten wykres w punkcie

P = (1, 9)

.
Wyznacz wzór wielomianu

f

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu

a_{6} = 15

oraz

a_{15} = a_{3} \cdot (a_{8} - 6)

.
Ciąg

(b_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i

b_{1} = a_{11}

oraz

b_{2} = a_{6}

.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(b_{n})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{245}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny

A B C D

o podstawie

A B C

. Płaszczyzna zawierająca krawędź

A B

podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej

C D

przecina tę krawędź w punkcie

E

, przy czym

\frac{∣ C E ∣}{∣ D E ∣} = \frac{3}{11}

.
Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy

A B C

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

6 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

o wierzchołkach

A = (- 8, - 1)

D = (- 13, 9)

oraz środku symetrii

M = (- \frac{9}{2}, 1)

. Okrąg

O

przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki

A B

B C

tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu

O

jest liczbą ujemną.
Wyznacz równanie okręgu

O

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.1

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

a) Wykaż, że objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.2

4 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

b) Objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

dla

a \in (0, 43)

.
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 4

V = 16

Rozwiązanie krok po kroku