Właściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po x zł za parę i 40 identycznych marynarek po y zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł. Po doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.
Cenę pary spodni x oraz cenę marynarki y, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędne (5,−3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (4,0).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędne (5,−3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (4,0).
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.
Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).
Oblicz wymiary a i b kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
a=50 m oraz b=100 m
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Przekątne równoległoboku ABCD mają długości: ∣AC∣=16 oraz ∣BD∣=12. Wierzchołki E, F, G oraz H rombu EFGH leżą na bokach równoległoboku ABCD (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.
Oblicz długość boku rombu EFGH. Zapisz obliczenia.
Dany jest trapez ABCD, w którym AB∥CD oraz przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa 12. Obwód trójkąta ABO jest równy 39, a obwód trójkąta CDO jest równy 13.
Wysokość trójkąta ABO poprowadzona z punktu O jest równa
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dane są punkty A=(1,2) i B=(2m,m), gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y=−x−1.
Prosta przechodząca przez punkty A i B jest równoległa do prostej k, gdy
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EFGH. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW (zobacz rysunek).
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EFGH. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW (zobacz rysunek).
W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:
• w I donicy – 133 nasiona • w II donicy – 140 nasion • w III donicy – 119 nasion • w IV donicy – 147 nasion • w V donicy – 161 nasion.
Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe σ=14.
Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Donice I, II oraz IV
Obliczamy średnią arytmetyczną liczby wykiełkowanych nasion:
Podnosimy do potęgi 31:
(523)31=523⋅31=521=5
C.40000⋅1,14 zł
D.40000⋅1,49 zł
A. 40000⋅(1,07)2 zł
Przy kapitalizacji rocznej kapitał po każdym roku jest mnożony przez 1,07 (wzrost o 7%). Po dwóch latach:
40000⋅1,07⋅1,07=40000⋅(1,07)2
B.{50x+40y=80000,5x=0,2y
C.{50x+40y=80001,5x=1,2y
D.{x+y=80001,5x=1,2y
C. {50x+40y=80001,5x=1,2y
Koszt wszystkich zakupów w hurtowni (50 par spodni i 40 marynarek) wynosi 8000 zł:
50x+40y=8000
Cena detaliczna spodni (marża 50%) jest równa cenie detalicznej marynarki (marża 20%):
1,5x=1,2y
Otrzymujemy układ równań:
{50x+40y=80001,5x=1,2y
A.x−y2
B.x2−y22
C.x2−y22x
D.x+y−2xy
C. x2−y22x
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (x−y)(x+y)=x2−y2:
(x−y)(x+y)(x+y)+(x−y)
Redukujemy wyrazy w liczniku:
x2−y22x
D.9⋅10⋅10⋅10
B. 9⋅9⋅8⋅7
Pierwszą cyfrę (różną od 0) wybieramy na 9 sposobów. Drugą cyfrę (różną od pierwszej, ale dopuszczalne jest 0) — także na 9 sposobów, trzecią na 8, a czwartą na 7 sposobów:
9⋅9⋅8⋅7
A.2
B.(−21)
C.21
D.(−2)
B. (−21)
Podstawiamy x=10=1021 i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:
f(10)=−log1021=−21log10=−21
[−3,+∞)
Parabola jest skierowana ramionami w górę, a jej wierzchołek ma współrzędne (5,−3). Najmniejszą wartością funkcji jest −3, więc zbiorem wszystkich wartości funkcji f jest przedział [−3,+∞).
f(x)=3(x−5)2−3
Korzystamy ze współrzędnych wierzchołka (5,−3) i zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:
f(x)=a(x−5)2−3,a=0
Wykres przechodzi przez punkt (4,0), więc podstawiamy te współrzędne:
0=a(4−5)2−3=a−3⟹a=3
Wzór funkcji f w postaci kanonicznej:
f(x)=3(x−5)2−3
A.(−2)
B.2
C.(−3)
D.3
B. 2
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażenia po lewej stronie:
3x−9=0⟹x=3,x+k=0⟹x=−k
Rozwiązaniem nierówności jest przedział (−2,3), więc drugim miejscem zerowym (poza 3) jest −2:
−k=−2⟹k=2
B1
Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc jej wyróżnik jest ujemny: b2−4ac<0.
Ponieważ c<0, to f(0)=c<0, czyli wykres przyjmuje wartości ujemne — leży w całości pod osią Ox, a zatem a<0. Odpowiedź: B oraz uzasadnienie 1.
D. rysunek D
A.
Prosta y=x−1 ma współczynnik kierunkowy 1 (jest rosnąca), a prosta y=−x+1 — współczynnik −1 (jest malejąca).
Wyznaczamy punkt wspólny prostych:
x−1=−x+1⟹2x=2⟹x=1,y=0
Właściwy rysunek przedstawia dwie proste o przeciwnych nachyleniach przecinające się w punkcie (1,0) — odpowiedź A.
A.W(x)=(x+2)(x2−3)
B.W(x)=(x−2)(x2−3)
C.W(x)=(x+2)(x2+3)
D.W(x)=(x−2)(x2+3)
B. W(x)=(x−2)(x2−3)
Grupujemy wyrazy wielomianu:
W(x)=x2(x−2)−3(x−2)
Wyłączamy wspólny czynnik (x−2):
W(x)=(x−2)(x2−3)
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. trzy rozwiązania.
D. cztery rozwiązania.
A. jedno rozwiązanie.
Ułamek jest równy 0, gdy licznik jest równy 0, a mianownik różny od 0. Miejsca zerowe licznika:
4−x=0⟹x=4,2x−3=0⟹x=23
Wyznaczamy wartości zerujące mianownik (niedozwolone):
3x−5=0⟹x=35,3−2x=0⟹x=23
Wartość x=23 zeruje również mianownik, więc jest wykluczona. Pozostaje jedno rozwiązanie: x=4.
A.6
B.5
C.7
D.(−6)
A. 6
Mnożymy obie strony nierówności przez 6:
12−3x≥2x−18
Porządkujemy wyrazy:
30≥5x⟹x≤6
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest 6.
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Oznaczamy α=∠BAC. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinα (kąt jest ostry):
sinα=1−cos2α=1−2516=259=53
Obliczamy pole trójkąta ze wzoru z sinusem kąta między bokami:
P=21⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅sinα=21⋅3⋅4⋅53=518
A.6
B.43
C.23
D.4
C. 23
Sześciokąt foremny o boku s składa się z 6 trójkątów równobocznych, więc z pola wyznaczamy bok:
6⋅4s23=63⟹s2=4⟹s=2
Podstawą trójkąta ABE jest bok AB=s=2, a jego wysokość jest równa odległości przeciwległych boków sześciokąta:
h=s3=23
Obliczamy pole trójkąta ABE:
PABE=21⋅∣AB∣⋅h=21⋅2⋅23=23
A.2
B.23
C.43
D.4
B. 23
Bok sześciokąta foremnego wynosi s=2 (z pola 63). Odcinek AE jest krótszą przekątną sześciokąta (łączy wierzchołki oddalone o jeden wierzchołek), a jej długość to:
∣AE∣=s3=23
A.3
B.4
C.9
D.6
C. 9
Ponieważ AB∥CD, trójkąty ABO i CDO są podobne. Skala podobieństwa jest równa stosunkowi ich obwodów:
k=1339=3
Wysokości trójkątów poprowadzone z punktu O są w tym samym stosunku. Oznaczając wysokość trójkąta CDO przez h, mamy hABO=3h, a ich suma to wysokość trapezu:
3h+h=12⟹h=3
Wysokość trójkąta ABO poprowadzona z punktu O:
hABO=3⋅3=9
A.(0,1) i (0,5).
B.(0,1) i (0,−5).
C.(1,0) i (5,0).
D.(0,−1) i (0,5).
A. (0,1) i (0,5).
Punkty leżące na osi Oy mają pierwszą współrzędną x=0. Podstawiamy do równania okręgu:
(0−3)2+(y−3)2=13⟹9+(y−3)2=13⟹(y−3)2=4
Stąd wyznaczamy współrzędne y:
y−3=±2⟹y=1luby=5
Okrąg przecina oś Oy w punktach (0,1) i (0,5).
A. nie mają punktów wspólnych.
B. są prostopadłe.
C. przecinają się w punkcie P=(0,−1).
D. się pokrywają.
B. są prostopadłe.
Współczynniki kierunkowe prostych to ak=31 oraz al=−3. Obliczamy ich iloczyn:
ak⋅al=31⋅(−3)=−1
Iloczyn współczynników kierunkowych jest równy −1, więc proste k oraz l są prostopadłe.
A.m=−1
B.m=1
C.m=21
D.m=2
B. m=1
Prosta k ma współczynnik kierunkowy −1. Prosta przechodząca przez punkty A i B jest do niej równoległa, gdy jej współczynnik kierunkowy też wynosi −1:
2m−1m−2=−1
Rozwiązujemy równanie:
m−2=−(2m−1)⟹m−2=−2m+1⟹3m=3⟹m=1
A.243
B.364,5
C.489
D.729
A. 243
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 9, więc Pp=92=81. Wysokość ostrosłupa jest równa krawędzi sześcianu, czyli H=9.
Obliczamy objętość ostrosłupa:
V=31⋅Pp⋅H=31⋅81⋅9=243
cosα=33
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.