Matura podstawowa grudzień 2022, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za

40000

zł oprocentowane

7%

w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa

Poprawna odpowiedź

A.

40000 \cdot (1, 07)^{2}

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Właściciel sklepu kupił w hurtowni

50

par identycznych spodni po

x

zł za parę i

40

identycznych marynarek po

y

zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił

8000

zł. Po doliczeniu marży

50%

na każdą parę spodni i

20%

na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cenę pary spodni

x

oraz cenę marynarki

y

, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań

Poprawna odpowiedź

C.

{50 x + 40 y = 8000 1, 5 x = 1, 2 y

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczby rzeczywiste

x

i

y

są dodatnie oraz

x \neq = y

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie

\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}

można przekształcić do postaci

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{2 x}{x ^{2} - y ^{2}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest

Poprawna odpowiedź

B.

9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = - lo g x

dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich

x

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość funkcji

f

dla argumentu

x = 10

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

- \frac{1}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, ma współrzędne

(5, - 3)

. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych ma współrzędne

(4, 0)

.

Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

[- 3, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7.2

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, ma współrzędne

(5, - 3)

. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych ma współrzędne

(4, 0)

.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej

f

w postaci kanonicznej.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = 3 (x - 5)^{2} - 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Dana jest nierówność kwadratowa

(3 x - 9) (x + k) < 0

z niewiadomą

x

i parametrem

k \in R

. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział

(- 2, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

k

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + b x + c

, gdzie

a

,

b

i

c

są liczbami rzeczywistymi takimi, że

a \neq = 0

oraz

c < 0

. Funkcja

f

nie ma miejsc zerowych.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Wykres funkcji

f

leży w całości

A. nad osią $O x$ ,	ponieważ	1. $a < 0$ i $b^{2} - 4 a c < 0$ .
B. pod osią $O x$ ,		2. $a > 0$ i $b^{2} - 4 a c < 0$ .
		3. $a < 0$ i $b^{2} - 4 a c = 0$ .

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Poprawna odpowiedź

B1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Dany jest układ równań

{y = x - 1 y = - x + 1

Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A.

B.

C.

D.

Poprawna odpowiedź

A.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Dany jest wielomian

W

określony wzorem

W (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 6

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian

W

przy rozkładzie na czynniki ma postać

Poprawna odpowiedź

B.

W (x) = (x - 2) (x^{2} - 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\frac{( 4 - x ) ( 2 x - 3 )}{( 3 x - 5 ) ( 3 - 2 x )} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

A. jedno rozwiązanie

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Dana jest nierówność

2 - \frac{x}{2} \geq \frac{x}{3} - 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Poprawna odpowiedź

A.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

5 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez

10

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

5 n^{2} + 15 n = 5 n (n + 3)

, gdzie

n

i

n + 3

mają różną parzystość, więc iloczyn dzieli się przez

2

i przez

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2} + n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest malejący.	P	F
Ósmy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $136$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(- 3, \frac{1}{2}, x, y, 11)

jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby

x

oraz

y

są równe

Poprawna odpowiedź

A.

x = 4

oraz

y = \frac{15}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

2 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_{1} = - 5

,

a_{2} = 15

,

a_{3} = - 45

.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Wzór ogólny ciągu

(a_{n})

ma postać

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

A i E

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

\frac{1}{sin ^{2} α} + \frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{64}{9}

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

sin α \cdot cos α

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{3}{8}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

leżą na okręgu o środku

O

(zobacz rysunek). Ponadto

∣∠ A O C ∣ = 130°

oraz

∣∠ B O A ∣ = 110°

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wewnętrznego

B A C

trójkąta

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

60°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

4 pkt

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości

200

m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Oblicz wymiary

a

i

b

kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 50

m,

b = 100

m

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

8

. Z wierzchołka

A

zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

16 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Odcinki

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

O

. Ponadto

∣ A D ∣ = 4

i

∣ O D ∣ = ∣ B C ∣ = 6

. Kąty

O D A

i

B C O

są proste (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka

O C

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

2 pkt

Przekątne równoległoboku

A B C D

mają długości:

∣ A C ∣ = 16

oraz

∣ B D ∣ = 12

. Wierzchołki

E

,

F

,

G

oraz

H

rombu

E F G H

leżą na bokach równoległoboku

A B C D

(zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

Oblicz długość boku rombu

E F G H

.
Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = \frac{48}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

2 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 4

,

∣ A B ∣ = 3

,

cos ∠ B A C = \frac{4}{5}

.

Oblicz pole trójkąta

A B C

.
Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = \frac{18}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25.1

1 pkt

Dany jest sześciokąt foremny

A B C D E F

o polu równym

63

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta

A B E

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

23

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25.2

1 pkt

Dany jest sześciokąt foremny

A B C D E F

o polu równym

63

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka

A E

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

23

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Dany jest trapez

A B C D

, w którym

A B ∥ C D

oraz przekątne

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

O

(zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa

12

. Obwód trójkąta

A B O

jest równy

39

, a obwód trójkąta

C D O

jest równy

13

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość trójkąta

A B O

poprowadzona z punktu

O

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dany jest okrąg

O

o równaniu

(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 13

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

przecina oś

O y

w punktach o współrzędnych

Poprawna odpowiedź

A.

(0, 1)

i

(0, 5)

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dane są proste

k

oraz

l

o równaniach

k : y = \frac{1}{3} x - 1

l : y = - 3 x + 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

Poprawna odpowiedź

B. są prostopadłe.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dane są punkty

A = (1, 2)

i

B = (2 m, m)

, gdzie

m

jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta

k

o równaniu

y = - x - 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkty

A

i

B

jest równoległa do prostej

k

, gdy

Poprawna odpowiedź

B.

m = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30.1

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

9

. Wierzchołki podstawy

A B C D

sześcianu połączono odcinkami z punktem

W

, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy

E F G H

. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D W

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość

V

ostrosłupa

A B C D W

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

243

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30.2

2 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

9

. Wierzchołki podstawy

A B C D

sześcianu połączono odcinkami z punktem

W

, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy

E F G H

. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D W

(zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

cos α = \frac{3}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

1 pkt

Dany jest sześcian

F

o krawędzi długości

a

i objętości

V

oraz sześcian

G

o krawędzi długości

3 a

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość sześcianu

G

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

27 V

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

1 pkt

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy

2 : 7

. Zakupiono jeden los z tej loterii.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{2}{9}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:

w I donicy – $133$ nasiona
w II donicy – $140$ nasion
w III donicy – $119$ nasion
w IV donicy – $147$ nasion
w V donicy – $161$ nasion

Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe

σ = 14

.

Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

I, II, IV

Rozwiązanie krok po kroku