Matura podstawowa sierpień 2025, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

5 - 3 + 5 - 1

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

\frac{2 5 ^{- 2}}{12 5 ^{- 4}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

5^{8}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

324 + 3192

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

633

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

lo g_{3} 2 - lo g_{3} 18

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Wykaż, że liczba

8^{50} - 2^{145}

jest podzielna przez

31

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

8^{50} - 2^{145} = 2^{145} \cdot 31

, co jest liczbą podzielną przez

31

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

(3 x + y)^{2} - (3 x - y)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

A.

12 x y

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3 - x \geq \frac{5 x - 1}{2}

jest przedział

Poprawna odpowiedź

A.

(- \infty, 1]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Dane jest równanie

\frac{3}{3 x - 7} = \frac{5 x}{x - 8}

, gdzie

x \neq = \frac{7}{3}

i

x \neq = 8

.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału

(\frac{5}{4}, + \infty)

.
Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

2 pkt

Rozwiąż nierówność

- 3 x^{2} > 6 x - 9

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- 3, 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(3 x - 12) (10 + 5 x) (x - 3) = 0

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

2 pkt

Właściciel restauracji kupił

75

kilogramów pomidorów:

x

kg pomidorów malinowych w cenie

11

złotych za kilogram oraz

y

kg pomidorów cherry w cenie

7, 98

złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie

752, 52

złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.
Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

51

kg

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba ___.
2. Wartość wyrażenia

f (- 2) + 3 \cdot f (2)

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

1

; 2.

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.2

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < - 2

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

[- 4, 3]

; 2.

(- 4, - 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

g

jest liczba

(- 3)

.
Dla argumentu

0

funkcja

g

przyjmuje wartość

(- \frac{3}{2})

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

g

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

A.

g (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.1

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

C.

f (x) = \frac{1}{2} (x + 4) (x - 6)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.2

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.3

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x - 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

D.

x = 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{32 \cdot ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n - 1}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Różnica tego ciągu jest równa

(- 4)

oraz

a_{10} = - 24

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

(- 8)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od

0

, jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_{3} = - 8 \cdot a_{6}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

(- \frac{1}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(5, 1, x)

jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg

(5, 1, y)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

Poprawna odpowiedź

B.

x < 0

i

y > 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{5}{13}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{12}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

sin 3 0^{\circ} \cdot cos 6 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21.1

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

i o promieniu

36

. Punkt

S

leży na odcinku

B D

. Kąt

B D A

ma miarę

4 0^{\circ}

, a kąt

D B C

ma miarę

6 5^{\circ}

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

B S A

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

8 0^{\circ}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21.2

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

i o promieniu

36

. Punkt

S

leży na odcinku

B D

. Kąt

B D A

ma miarę

4 0^{\circ}

, a kąt

D B C

ma miarę

6 5^{\circ}

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość łuku

B C

, na którym jest oparty kąt wpisany

C D B

, jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

10 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22.1

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 6

,

∣ A C ∣ = 4

oraz

∣∠ C A B ∣ = 6 0^{\circ}

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

63

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22.2

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 6

,

∣ A C ∣ = 4

oraz

∣∠ C A B ∣ = 6 0^{\circ}

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku

B C

trójkąta

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

28

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

takich, że

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ C D ∣

. Przekątne

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

E

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pola trójkątów $B C E$ oraz $A E D$ są równe.	P	F
Pole trójkąta $A B E$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $C D E$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (3 - m) x + 5

l : y = (m + 3) x - 4

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m = 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

O : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 4

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Okrąg $O$ nie ma punktów wspólnych z osią $O x$ układu współrzędnych.	P	F
Okrąg $O$ ma z osią $O y$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

4 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny

A B C D E F

. Wysokość podstawy

A B C

jest równa

23

. Przekątna

A E

ściany bocznej

A B E D

tworzy z krawędzią

A B

kąt o mierze

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 48

,

P_{c} = 563

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Objętość walca o promieniu podstawy

2

jest równa

16 π^{2}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego walca jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od

500

, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Poprawna odpowiedź

C.

75

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez

3

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{1}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

3 pkt

W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.
Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ___.
2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ___.
3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ___ procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1. Dominanta

= 1

; 2. Średnia arytmetyczna

= 2

; 3.

125

procent

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Hotel ma do dyspozycji gości

80

pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
• przy wyjściowej cenie wynoszącej

120

zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o

5

zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o

1

.
Przyjmijmy, że dobowy przychód

P

hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o

5 x

złotych, opisuje funkcja

P (x) = (80 - x) (120 + 5 x)

gdzie

x

jest liczbą całkowitą spełniającą warunki

x \geq 0

i

x \leq 80

.

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

260

zł

Rozwiązanie krok po kroku