Właściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: x kg pomidorów malinowych w cenie 11 złotych za kilogram oraz y kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
51 kg
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba ___. 2. Wartość wyrażenia f(−2)+3⋅f(2) jest równa ___.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ___. 2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)<−2 jest przedział ___.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=21x2+bx+c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=21x2+bx+c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią.
P
F
Współczynnik c we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=21x2+bx+c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f.
Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x−3).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu
Ciąg geometryczny (an), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a3=−8⋅a6.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S leży na odcinku BD. Kąt BDA ma miarę 40∘, a kąt DBC ma miarę 65∘ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S leży na odcinku BD. Kąt BDA ma miarę 40∘, a kąt DBC ma miarę 65∘ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość łuku BC, na którym jest oparty kąt wpisany CDB, jest równa
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 23. Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 60° (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 3. Zapisz obliczenia.
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ___. 2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ___. 3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ___ procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
Hotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: • przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte • każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1. Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5x złotych, opisuje funkcja
P(x)=(80−x)(120+5x)
gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤80.
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Z kolei 5−1>0, więc 5−1=5−1.
Dodajemy oba wyrażenia:
(3−5)+(5−1)=2
B.5−2
C.54
D.58
D. 58
Zapisujemy 25 i 125 jako potęgi liczby 5:
25−2=(52)−2=5−4,125−4=(53)−4=5−12
Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):
5−125−4=5−4−(−12)=58
A.6
B.336
C.633
D.636
C. 633
Wyłączamy sześciany z liczb pod pierwiastkiem:
324=38⋅3=233,3192=364⋅3=433
Dodajemy wyrazy podobne:
233+433=633
C.21
D.2
A. (−2)
Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:
log32−log318=log3182=log391
Zapisujemy 91 jako potęgę liczby 3 i obliczamy logarytm:
log391=log33−2=−2
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane do góry, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi. Szkicujemy wykres i odczytujemy przedział, w którym x2+2x−3<0:
Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział:
x∈(−3,1)
C.5
D.9
C. 5
Iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Wyznaczamy rozwiązania z każdego czynnika:
Miejsce zerowe szukamy w każdym z kawałków funkcji. W pierwszym kawałku (x∈(−5,−3]) rozwiązujemy równanie −2x−10=0:
−2x−10=0⟹x=−5
Liczba −5 nie należy jednak do przedziału (−5,−3] (przedział jest otwarty w tym punkcie), więc w tym kawałku funkcja nie ma miejsca zerowego. W drugim kawałku (x∈(−3,4]) rozwiązujemy równanie x−1=0:
x−1=0⟹x=1
Liczba 1 należy do przedziału (−3,4], więc miejscem zerowym funkcji f jest liczba 1.
Obliczamy f(−2): argument −2 należy do przedziału (−3,4], więc korzystamy ze wzoru f(x)=x−1:
f(−2)=−2−1=−3
Obliczamy f(2): argument 2 również należy do przedziału (−3,4]:
f(2)=2−1=1
Obliczamy wartość wyrażenia:
f(−2)+3⋅f(2)=−3+3⋅1=−3+3=0
1. [−4,3]; 2. (−4,−1)
W pierwszym kawałku (x∈(−5,−3]) funkcja f(x)=−2x−10 jest malejąca. Dla x dążącego do −5 wartość f(x) dąży do 0 (bez osiągnięcia), a dla x=−3 funkcja przyjmuje wartość f(−3)=−2⋅(−3)−10=−4. W tym kawałku funkcja przyjmuje więc wartości z przedziału [−4,0).
W drugim kawałku (x∈(−3,4]) funkcja f(x)=x−1 jest rosnąca. Dla x dążącego do −3 wartość f(x) dąży do −4 (bez osiągnięcia), a dla x=4 funkcja przyjmuje wartość f(4)=4−1=3. W tym kawałku funkcja przyjmuje wartości z przedziału (−4,3].
Łącząc oba zbiory wartości, otrzymujemy zbiór wartości funkcji f:
[−4,0)∪(−4,3]=[−4,3]
Rozwiązujemy nierówność f(x)<−2 w pierwszym kawałku:
−2x−10−2xx<−2<8>−4
Dla x∈(−5,−3] otrzymujemy x∈(−4,−3]. W drugim kawałku:
x−1<−2⟹x<−1
Dla x∈(−3,4] otrzymujemy x∈(−3,−1). Łącząc oba przedziały (punkt x=−3 należy do pierwszego z nich), otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:
(−4,−3]∪(−3,−1)=(−4,−1)
A.g(x)=−21x−23
B.g(x)=−21x+23
C.g(x)=21x−23
D.g(x)=21x+23
A. g(x)=−21x−23
Funkcja liniowa ma postać g(x)=ax+b. Wyraz wolny b to wartość funkcji dla argumentu 0:
b=−23
Miejsce zerowe to x=−3, czyli g(−3)=0. Podstawiamy i wyznaczamy a:
−3a−23=0−3a=23a=−21
Zatem wzór funkcji to:
g(x)=−21x−23
A.f(x)=21(x−4)(x−6)
B.f(x)=21(x−4)(x+6)
C.f(x)=21(x+4)(x−6)
D.f(x)=21(x+4)(x+6)
C. f(x)=21(x+4)(x−6)
Wykres paraboli jest symetryczny względem prostej x=1, więc drugie miejsce zerowe leży w takiej samej odległości od osi symetrii jak x=6, po drugiej stronie:
x2=2⋅1−6=−4
Znamy postać iloczynową funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi 6 i −4 oraz współczynnikiem 21 przy x2:
f(x)=21(x−6)(x−(−4))=21(x+4)(x−6)
FF
Wiemy, że f(x)=21(x+4)(x−6). Rozwijamy nawiasy:
(x+4)(x−6)=x2−2x−24f(x)=21x2−x−12
Odczytujemy współczynniki: b=−1, c=−12. Oba są liczbami ujemnymi, więc oba stwierdzenia są fałszywe.
A.x=−2
B.x=1
C.x=3
D.x=4
D. x=4
Podstawienie x−3 w miejsce x przesuwa wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo, więc oś symetrii też przesuwa się o 3 w prawo:
x=1+3=4
A.(−2)
B.(−1)
C.1
D.2
C. 1
Podstawiamy n=6:
a6=26−132⋅(−1)6=2532⋅1=3232=1
A.(−12)
B.(−8)
C.(−4)
D.0
B. (−8)
Korzystamy z zależności a10=a6+4d, gdzie d=−4:
−24=a6+4⋅(−4)−24=a6−16a6=−8
A.(−2)
B.(−21)
C.21
D.2
B. (−21)
Wyraz a6 zapisujemy przez a3 i iloraz q:
a6=a3⋅q3
Podstawiamy do warunku a3=−8⋅a6 i dzielimy obie strony przez a3=0:
A.x<0iy<0B.x<0iy>0C.x>0iy<0D.x>0iy>0
B. x<0 i y>0
Ciąg (5,1,x) jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz to średnia arytmetyczna skrajnych:
2⋅1=5+xx=2−5
Ponieważ 5≈2,24>2, to x<0.
Ciąg (5,1,y) jest geometryczny, więc iloraz między kolejnymi wyrazami jest stały:
51=1yy=51=55
Ponieważ 5>0, to y>0. Zatem x<0 i y>0.
B.1312
C.1213
D.512
D. 512
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, żeby obliczyć sinus kąta α:
sin2α+cos2α=1sin2α=1−(135)2=1−16925=169144
Kąt α jest ostry, więc sinα jest dodatni:
sinα=169144=1312
Tangens to iloraz sinusa i cosinusa:
tanα=cosαsinα=1351312=512
A.21
B.22
C.23
D.1
D. 1
Podstawiamy znane wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30∘ i 60∘:
sin30∘=21,cos60∘=21,sin60∘=23,cos30∘=23
Obliczamy wartość wyrażenia:
21⋅21+23⋅23=41+43=1
A.20∘
B.40∘
C.50∘
D.80∘
D. 80∘
Kąt wpisany BDA jest oparty na tym samym łuku AB co kąt środkowy BSA, więc kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
∠BSA=2⋅∠BDA=2⋅40∘=80∘
Kąt 80∘ jest kątem ostrym, więc to szukana odpowiedź.
A.8π
B.10π
C.13π
D.20π
B. 10π
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Objętość walca opisuje wzór V=πr2h. Podstawiamy promień r=2 i objętość V=16π2:
16π2=π⋅22⋅h=4πh
Wyznaczamy wysokość walca:
h=4π16π2=4π
C. 75
Cyfry nieparzyste to 1,3,5,7,9. Aby liczba trzycyfrowa o wszystkich cyfrach nieparzystych była większa od 500, cyfra setek musi być nieparzysta i nie mniejsza niż 5, czyli musi należeć do zbioru {5,7,9} — daje to 3 możliwości.
Cyfra dziesiątek i cyfra jedności mogą być dowolną z pięciu cyfr nieparzystych, więc mamy po 5 możliwości dla każdej z nich. Korzystamy z reguły mnożenia:
3⋅5⋅5=75
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb oczek (x,y), gdzie x,y∈{1,2,3,4,5,6}, więc:
∣Ω∣=6⋅6=36
Szukamy liczb dwucyfrowych xy=10x+y nieparzystych (czyli y∈{1,3,5}) i jednocześnie podzielnych przez 3 (czyli x+y podzielne przez 3). Sprawdzamy kolejno możliwe pary (x,y):
(2,1),(5,1),(3,3),(6,3),(1,5),(4,5)
Odpowiadają im liczby 21,51,33,63,15,45 — wszystkie są nieparzyste i podzielne przez 3. Zdarzeń sprzyjających jest zatem 6:
Z diagramu odczytujemy liczby samochodów: 16 samochodów miało 1 usterkę, 10 miało 2 usterki, 6 miało 3 usterki, 2 miały 4 usterki i 2 miały 5 usterek. Łącznie zbadano:
16+10+6+2+2=36
Dominantą jest wartość występująca najczęściej — najwięcej samochodów (16) miało dokładnie 1 usterkę, więc dominanta jest równa 1.