Matura podstawowa kwiecień 2020, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Niech

a = - 2

,

b = 3

. Wartość wyrażenia

a^{b} - b^{a}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

- \frac{73}{9}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

9^{9} \cdot 8 1^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

9^{13}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{4} 8 + 5 lo g_{4} 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o

30%

. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

Poprawna odpowiedź

D. o więcej niż

60%

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Liczba

(27 - 5)^{2} \cdot (27 + 5)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb

x

spełniających warunek:

11 \leq 2 x - 7 \leq 15

.

A.
B.
C.
D.

Poprawna odpowiedź

D

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ jest równy $60$ . Jeden z boków tego prostokąta jest o $10$ dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.

Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

Poprawna odpowiedź

A

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{x + 1}{x + 2} = 3

, gdzie

x \neq = - 2

, jest liczba należąca do przedziału

Poprawna odpowiedź

D.

⟨ - 5, - 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Linę o długości

100

metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku

3 : 4 : 5

. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

Poprawna odpowiedź

A.

41 \frac{2}{3}

metra

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

.

Współczynniki

b

i

c

– we wzorze funkcji

f

– spełniają warunki:

Poprawna odpowiedź

A.

b < 0 i c > 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, w którym są dane:

a_{1} = 2

i

a_{2} = 9

. Wtedy

a_{n} = 79

dla

Poprawna odpowiedź

C.

n = 12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich:

(81, 3 x, 4)

. Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

B.

x = 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełniona jest równość

sin α = \frac{2 6}{7}

. Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

B.

cos α = \frac{5}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Na okręgu o środku w punkcie

O

leżą punkty

A

,

B

i

C

(zobacz rysunek). Kąt

A B C

ma miarę

121°

, a kąt

B O C

ma miarę

40°

.

Kąt

A O B

ma miarę

Poprawna odpowiedź

D.

78°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

W trójkącie

A B C

punkt

D

leży na boku

B C

, a punkt

E

leży na boku

A C

. Odcinek

D E

jest równoległy do boku

A B

, a ponadto

∣ A E ∣ = ∣ D E ∣ = 4

,

∣ A B ∣ = 6

(zobacz rysunek).
Odcinek

C E

ma długość

Poprawna odpowiedź

C.

8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe

63

. Bok tego trójkąta ma długość

Poprawna odpowiedź

C.

26

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Punkty

B = (- 2, 4)

i

C = (5, 1)

są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu

A B C D

. Pole tego kwadratu jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

58

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej

S A

ostrosłupa do płaszczyzny podstawy

A B C D

to

Poprawna odpowiedź

A.

∢ S A O

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

21

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Prosta

k

przechodzi przez punkt

A = (4, - 4)

i jest prostopadła do osi

O x

. Prosta

k

ma równanie

Poprawna odpowiedź

A.

x - 4 = 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Prosta

l

jest nachylona do osi

O x

pod kątem

30°

i przecina oś

O y

w punkcie

(0, - 3)

(zobacz rysunek).
Prosta

l

ma równanie

Poprawna odpowiedź

A.

y = \frac{3}{3} x - 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Dany jest stożek o wysokości

6

i tworzącej

35

. Objętość tego stożka jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

18 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Średnia arytmetyczna zestawu ośmiu danych:

x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

jest równa

9

. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż

2017

?

Poprawna odpowiedź

D.

1017

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Z pudełka, w którym jest tylko

6

kul białych i

n

kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

\frac{1}{3}

. Liczba kul czarnych jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

n = 12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} + x - 6 \leq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in ⟨ - 2, \frac{3}{2} ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{2} - 6) (3 x + 2) = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{2}{3}

lub

x = 6

lub

x = - 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

x

prawdziwa jest nierówność

4 x + \frac{1}{x} \geq 4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(2 x - 1)^{2} \geq 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ ∢ A C B ∣ = 90°

i

∣ ∢ A B C ∣ = 60°

. Niech

D

oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka

C

kąta prostego i przeciwprostokątnej

A B

tego trójkąta. Wykaż, że

∣ A D ∣ : ∣ D B ∣ = 3 : 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ D B ∣ = \frac{1}{4} ∣ A B ∣, ∣ A D ∣ = \frac{3}{4} ∣ A B ∣

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Ze zbioru liczb

{1, 2, 4, 5, 10}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{12}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, w którym spełniona jest równość

a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100

. Oblicz sumę

a_{25} + a_{26}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{25} + a_{26} = 50

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 2

i

x_{2} = 6

. Wykres funkcji

f

przechodzi przez punkt

A = (1, - 5)

. Oblicz najmniejszą wartość funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

- \frac{16}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Punkt

C = (0, 0)

jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego

A B C

, którego wierzchołek

A

leży na osi

O x

, a wierzchołek

B

na osi

O y

układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka

C

przecina przeciwprostokątną

A B

w punkcie

D = (3, 4)

.

Oblicz współrzędne wierzchołków

A

i

B

tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej

A B

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

A = (\frac{25}{3}, 0)

,

B = (0, \frac{25}{4})

,

∣ A B ∣ = 10 \frac{5}{12}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D E F

jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ ∢ A C B ∣ = 9 0^{\circ}

(zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej

A C

tego trójkąta do długości przyprostokątnej

B C

jest równy

4 : 3

. Punkt

S

jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie

A B C

, a długość odcinka

S C

jest równa

5

. Pole ściany bocznej

B E F C

graniastosłupa jest równe

48

. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 192

Rozwiązanie krok po kroku