Matura rozszerzona maj 2019

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Dla dowolnych liczb

x > 0

x \neq = 1

y > 0

y \neq = 1

wartość wyrażenia

(lo g_{\frac{1}{x}} y) \cdot (lo g_{\frac{1}{y}} x)

jest równa

Poprawna odpowiedź

1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

cos^{2} 105° - sin^{2} 105°

jest równa

Poprawna odpowiedź

- \frac{3}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji

y = f (x)

, który jest złożony z dwóch półprostych

A D

C E

oraz dwóch odcinków

A B

B C

, gdzie

A = (- 1, 0)

B = (1, 2)

C = (3, 0)

D = (- 4, 3)

E = (6, 3)

.

Wzór funkcji

f

Poprawna odpowiedź

f (x) = ∣ x - 1∣ - 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Zdarzenia losowe

A

B

zawarte w

Ω

są takie, że prawdopodobieństwo

P (B^{'})

zdarzenia

B^{'}

, przeciwnego do zdarzenia

B

, jest równe

\frac{1}{4}

. Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe

P (A ∣ B) = \frac{1}{5}

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

P (A \cap B) = \frac{3}{20}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Oblicz granicę

n \to \infty lim (\frac{9 n ^{3} + 11 n ^{2}}{7 n ^{3} + 5 n ^{2} + 3 n + 1} - \frac{n ^{2}}{3 n ^{2} + 1})

Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

9, 5, 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr

1

3

5

7

9

, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Poprawna odpowiedź

6666600

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

2 pkt

Punkt

P = (10, 2429)

leży na paraboli o równaniu

y = 2 x^{2} + x + 2219

. Prosta o równaniu kierunkowym

y = a x + b

jest styczna do tej paraboli w punkcie

P

. Oblicz współczynnik

b

Poprawna odpowiedź

b = 2019

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

, takich że

x < y

, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

a

, prawdziwa jest nierówność

\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2

Poprawna odpowiedź

\frac{( x - y ) ^{2} + a ( y - x )}{x ( y + a )} > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Na ramieniu

A C

tego trójkąta wybrano punkt

M

(

M \neq = A

M \neq = C

), a na ramieniu

B C

wybrano punkt

N

, w taki sposób, że

∣ A M ∣ = ∣ C N ∣

. Przez punkty

M

N

poprowadzono proste prostopadłe do podstawy

A B

tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty

S

T

. Udowodnij, że

∣ S T ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣

Poprawna odpowiedź

∣ S T ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Punkt

D

leży na boku

A B

trójkąta

A B C

oraz

∣ A C ∣ = 16

∣ A D ∣ = 6

∣ C D ∣ = 14

∣ B C ∣ = ∣ B D ∣

.
Oblicz obwód trójkąta

A B C

Poprawna odpowiedź

120

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

6 pkt

Dane są okręgi o równaniach

x^{2} + y^{2} - 12 x - 8 y + 43 = 0

x^{2} + y^{2} - 2 a x + 4 y + a^{2} - 77 = 0

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Poprawna odpowiedź

a = 6 - 63

lub

a = 6

lub

a = 6 + 63

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

6 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(a, b, c)

o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg

(\frac{1}{a}, \frac{2}{3 b}, \frac{1}{2 a + 2 b + c})

jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Poprawna odpowiedź

q = \frac{1}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

6 pkt

Wielomian określony wzorem

W (x) = 2 x^{3} + (m^{3} + 2) x^{2} - 11 x - 2 (2 m + 1)

jest podzielny przez dwumian

(x - 2)

oraz przy dzieleniu przez dwumian

(x + 1)

daje resztę

6

. Oblicz

m

i dla wyznaczonej wartości

m

rozwiąż nierówność

W (x) \leq 0

Poprawna odpowiedź

m = 1

x \in (- \infty, - 3 ⟩ \cup ⟨ - \frac{1}{2}, 2 ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

4 pkt

Rozwiąż równanie

(cos x) [sin (x - \frac{π}{3}) + sin (x + \frac{π}{3})] = \frac{1}{2} sin x

Poprawna odpowiedź

x = k π

lub

x = \frac{π}{3} + 2 k π

lub

x = - \frac{π}{3} + 2 k π

, gdzie

k \in Z

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

7 pkt

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

V = 2

. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Poprawna odpowiedź

a = 2

h = \frac{2 3}{3}

P_{c} = 63

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie