Matura podstawowa czerwiec 2026 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

\frac{3 - 64 + 3 27}{5 - 32}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{1}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

\frac{9 ^{4}}{3 ^{- 20}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

9^{14}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

lo g_{5} 325

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{2}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

x^{3} - 2 x^{2} + x

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

A.

x (x - 1)^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

- 2 (x + 3) (x - 2) > 0

jest przedział

Poprawna odpowiedź

B.

(- 3, 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest

198

. Gdyby w tym parku rosło o

18

drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam

3

razy więcej niż drzew iglastych.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:

x

– liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,

y

– liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby

x

drzew iglastych oraz liczby

y

drzew liściastych, jest

Poprawna odpowiedź

D.

{x + y = 198 3 (x + 18) = y

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

. Funkcja

f

ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

C. trzy miejsca zerowe

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

. Funkcja

f

osiąga największą wartość dla argumentu

Poprawna odpowiedź

B.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

. Dziedziną funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

A.

⟨ - 5, 4)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x - 4

.
Wskaż zdanie prawdziwe.

Poprawna odpowiedź

B. Funkcja

f

jest rosnąca i jej wykres przecina oś

O y

w punkcie

(0, - 4)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{2} - k x + 6

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba

2

jest miejscem zerowym funkcji

f

.
Liczba

k

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
W tym ciągu

a_{1} = 2

oraz

a_{3} - a_{2} = - 6

.
Piąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

(- 22)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Pięciowyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{2}, 2, a_{4}, a_{5})

jest geometryczny.
Iloczyn

a_{1} \cdot a_{2} \cdot 2 \cdot a_{4} \cdot a_{5}

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

32

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie

α

, że

sin α = \frac{1}{4}

.
Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość

8

.
Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{3}{5}

.
Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{3}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

.
Odcinek

B D

jest średnicą tego okręgu oraz

∣ ∢ A B D ∣ = 18°

.
Punkt

D

leży na krótszym łuku

C A

(zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego

B C A

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

72°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa

16

.
Wysokość tego trójkąta jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{12}{π}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie

A

przecięto dwiema prostymi równoległymi

k

oraz

l

.
Prosta

k

przecina ramiona tego kąta w punktach

B

oraz

C

.
Prosta

l

przecina ramiona tego kąta w punktach

D

oraz

E

.
Punkty

B

oraz

D

leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty

C

oraz

E

leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto

∣ A B ∣ = 6

,

∣ B C ∣ = 4

oraz

∣ B D ∣ = 2

(zobacz rysunek).
Odcinek

D E

ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{16}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 3, 1)

oraz

B = (1, - 3)

są kolejnymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

.

Obwód kwadratu

A B C D

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

162

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 1, - 4)

oraz

B = (2, y_{B})

leżą na prostej

l

. Współczynnik kierunkowy prostej

l

jest równy

3

.

Liczba

y_{B}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość

12

.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

62

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Tworząca stożka o promieniu podstawy

1

ma długość

3

.

Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie środkowym o mierze

Poprawna odpowiedź

C.

120°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

Poprawna odpowiedź

A.

400

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to

9

lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to

13

lat.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż równanie

(27 x^{3} + 1) (x^{2} - 4) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 2, x = - \frac{1}{3}, x = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{3 x + 4}{x - 1} = \frac{x + 3}{3 x}

, gdzie

x \neq = 0

i

x \neq = 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{3}{4}

oraz

x = - \frac{1}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n \geq 0

liczba

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}

jest podzielna przez

19

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Liczba

7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}

jest równa

19 \cdot 3 \cdot 7^{n}

, więc jest podzielna przez

19

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(7, a_{2}, a_{3}, a_{4})

jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

54

.
Oblicz drugi wyraz tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{2} = \frac{34}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

punkt

D

leży na boku

A B

i odcinek

C D

jest wysokością tego trójkąta. Punkt

E

jest środkiem boku

A C

.
Ponadto odcinki

D B

oraz

D E

mają równe długości (zobacz rysunek). Wykaż, że

∣ ∢ C A B ∣ = 2 \cdot ∣ ∢ A B E ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód:

∣ ∢ C A B ∣ = 2 \cdot ∣ ∢ A B E ∣

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dany jest sześcioelementowy zbiór

K = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

. Ze zbioru

K

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od

16

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{7}{30}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

, w którym

D = (6, 19)

.
Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x + 9

,
a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 4 x - 5

.
Punkt

K = (10, 14)

jest środkiem odcinka

A B

.
Przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S

.
Oblicz odległość punktu

S

od początku układu współrzędnych.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ O S ∣ = 445

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Odcinek

A D

jest wysokością walca, a odcinek

A B

jest średnicą podstawy walca.
Odcinek

B D

ma długość

43

. Miara kąta

A B D

jest równa

30°

(zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 18 π 3

,

P_{c} = 18 π + 12 π 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

.
Największa wartość funkcji

f

jest równa

100

.
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział

(- 2, 8)

.

Oblicz wartości współczynników

a

,

b

oraz

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = - 4

,

b = 24

,

c = 64

Rozwiązanie krok po kroku