Zadanie 14.2, matura rozszerzona maj 2021

3 pkt

Dane są parabola o równaniu

y = x^{2}

oraz punkty

A = (0, 2)

B = (1, 3)

(zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołek

C

leży na tej paraboli. Niech

m

oznacza pierwszą współrzędną punktu

C

.

Wyznacz wszystkie wartości

m

, dla których trójkąt

A B C

jest ostrokątny.

m \in (\frac{- 1 - 17}{2}, - 2) \cup (1, \frac{- 1 + 17}{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Kąt przy wierzchołku $C$ jest kątem wpisanym w okrąg o średnicy $A B$ wtedy, gdy $C$ leży na tym okręgu - jest wówczas kątem prostym. Gdy $C$ leży poza kołem o średnicy $A B$ , kąt ten jest ostry, a gdy wewnątrz koła - rozwarty. Trójkąt $A B C$ jest więc ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $C$ leży poza tym kołem oraz gdy dodatkowo leży między prostymi prostopadłymi do $A B$ poprowadzonymi przez punkty $A$ i $B$ (czyli na jednym z fragmentów $M_{1} M_{2}$ lub $N_{1} N_{2}$ paraboli - patrz rysunek).

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu geometria analityczna