Matura podstawowa maj 2026 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

\frac{25}{8} \cdot 2 + 2^{- 1}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Klient wpłacił do banku

10000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

1236

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

55

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5^{\frac{3}{4}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

lo g_{8} 4 - lo g_{8} 32

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} + 10 x + 25

dla

x = 2 - 5

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dane jest równanie

3 (x + 3) (x - m) (2 x + 4) = 0

gdzie

x

jest niewiadomą, natomiast

m

jest pewną liczbą rzeczywistą.
Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa

0

.

Liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{x + 2}{3 x - 1} = \frac{2}{5}

jest liczba

Poprawna odpowiedź

D.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Poprawna odpowiedź

A.

f (x) = 3

dla

x = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

⟨ - 2, 4 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości ujemne, jest przedział

Poprawna odpowiedź

A.

⟨ - 4, - 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

układu współrzędnych pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek).

Liczba

a

oraz liczba

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki:

Poprawna odpowiedź

D.

a < 0

oraz

b < 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

układu współrzędnych pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek).

Tangens kąta o mierze

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

- \frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.

Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Poprawna odpowiedź

D.

t = 3

s

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
W tym ciągu

a_{1} = 1

oraz

a_{5} = 17

.

Dziewiąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

33

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek

a_{3} \cdot a_{6} = 18

.

Iloczyn

a_{2} \cdot a_{7}

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

A C

jest przeciwprostokątną oraz

∣ B C ∣ = 2

i

∣ A C ∣ = 210

. Oznaczmy kąt

B C A

przez

γ

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

γ

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{3}{10}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

\frac{3 sin α + 4 cos α}{4 cos α} = 6

.

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{20}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

.
Punkt

B

leży na krótszym łuku

A C

.
Kąt

C D A

ma miarę

50°

, a kąt

C O B

ma miarę

30°

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

B O A

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

70°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

W okrąg

O

o promieniu

93

wpisano trójkąt równoboczny

T

.

Bok trójkąta

T

ma długość

Poprawna odpowiedź

C.

27

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Na płaszczyźnie dane są cztery proste:

k

,

l

,

m

oraz

n

. Proste

k

oraz

l

są równoległe.
Prosta

m

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

A

oraz

C

.
Prosta

n

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

D

oraz

B

.
Odcinki

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

O

.
Ponadto

∣ O A ∣ = 12

,

∣ O B ∣ = 6

oraz

∣ O C ∣ = 8

(zobacz rysunek).

Odcinek

O D

ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = - \frac{1}{3} x + 2

.
Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przechodzi przez punkt

(2, - 2)

.

Prosta

l

przecina oś

O y

w punkcie

Poprawna odpowiedź

D.

(0, - \frac{4}{3})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe

12

.
Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.
Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

(np.:

321

,

555

), jest

Poprawna odpowiedź

A.

6 \cdot 7 \cdot 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a

,

b

,

c

, jest równa

2

.
Średnia arytmetyczna czterech liczb:

d

,

e

,

f

,

g

, jest równa

5, 5

.
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

f

,

g

, jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} + 4 x \geq 6 x + 8

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{4}{3}] \cup [2, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

prawdziwa jest nierówność

a (a - b) \geq b (a - 3 b)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

a (a - b) \geq b (a - 3 b)

jest równoważna nierówności

(a - b)^{2} + 2 b^{2} \geq 0

, która jest prawdziwa jako suma dwóch liczb nieujemnych.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	$35$
Ulgowy	$25$

Na to przedstawienie sprzedano łącznie

200

biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości

25

wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało

4665

zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

y = 78

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Dany jest trójkąt

K L M

, w którym

∣ K M ∣ = a

oraz

∣ L M ∣ = b

.
Dwusieczna kąta

L M K

przecina bok

K L

w punkcie

N

(zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta

K N M

do pola trójkąta

N L M

jest równy

\frac{a}{b}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Stosunek pól trójkątów

K N M

i

N L M

jest równy

\frac{a}{b}

, co należało wykazać.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość

83

.
Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

3 0^{\circ}

.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 128

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dane są dwa zbiory cyfr:

X = {1, 3, 5, 7, 9}

oraz

Y = {0, 2, 4, 6, 8}

.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru

X

, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru

Y

.
Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru

X

jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru

Y

jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez

6

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{9}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (3, - 2)

.
Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g (x) = f (x + 1)

.
Jednym z miejsc zerowych funkcji

g

jest liczba

0

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci ogólnej.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{5}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. Trzywyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{9}, a_{k})

jest geometryczny.

Oblicz

k

oraz sumę

S_{k}

początkowych

k

wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

k = 41

,

S_{k} = 2788

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 4, - 2)

i

B = (- 2, 10)

są wierzchołkami trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Wierzchołek

C

leży na osi

O x

układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne wierzchołka

C

oraz pole trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

C = (21, 0)

,

P_{A B C} = 148

Rozwiązanie krok po kroku