Zadanie 24.2 - Matura podstawowa 2026 (maj) - Rozwiązanie

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Środek okręgu opisanego na trójkącie

A B C

ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

(0, - \frac{1}{2})

Obliczamy kwadraty długości boków trójkąta:
$∣ A B ∣^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20, ∣ B C ∣^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5, ∣ A C ∣^{2} = 0^{2} + 5^{2} = 25$
Ponieważ suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku, z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty:
$∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} = 20 + 5 = 25 = ∣ A C ∣^{2}$
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej. Liczymy środek odcinka $A C$ :
$(\frac{0 + 0}{2}, \frac{- 3 + 2}{2}) = (0, - \frac{1}{2})$

Podobne zadania z działu geometria analityczna