Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a2−b2 jest podzielna przez 5.
W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
850
Oznaczmy: x – liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie, y – liczba drzew posadzonych w drugim sadzie. Z treści zadania:
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji f jest przedział ___. 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ___. 3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji f jest przedział ___. 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)<f(−3) jest przedział ___.
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=5x. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej g.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2,15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x=−1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1.
Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=5x+7. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0,−4). Punkt o współrzędnych (p,2) należy do prostej l.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.
Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
V=27
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
Dane są dwa zbiory: X={−3,−2,−1,0,1,2} oraz Y={−2,−1,0,1}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy uporządkowaną parę liczb (x,y), gdzie x jest liczbą wylosowaną ze zbioru X oraz y jest liczbą wylosowaną ze zbioru Y.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x,y), która będzie spełniać warunek x⋅y≥0. Zapisz obliczenia.
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
Liczba punktów
0
1
2
3
4
5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów
4
2
5
5
11
5
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie ___ uczniów tej klasy. 2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ___. 3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ___.
Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem
Z(x)=(500+50x)(16−x)
gdzie: x – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x≥1 i x≤14, Z – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.
Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego
Poprawna odpowiedź
Obliczamy iloczyn:
x1⋅x2=10⋅2=20
A.28
B.210
C.216
D.236
B. 210
Zapisujemy 256=28 oraz upraszczamy pierwiastek:
382=3(23)2=326=26/3=22
Mnożymy potęgi o tej samej podstawie:
28⋅22=210
PF
Stwierdzenie 1: Stosujemy wzór na logarytm potęgi n⋅logab=logabn:
2⋅log35=log352=log325(PRAWDA)
Stwierdzenie 2: Sprawdzamy. Mamy 2=log39, więc:
2+log35=log39+log35=log345=log310(FAŁSZ)
A.4−43
B.4−23
C.2
D.4
D. 4
Rozwijamy kwadrat sumy:
(3+1)2=3+23+1=4+23
Upraszczamy 12=23 i odejmujemy:
4+23−23=4
a2−b2=5⋅(5k2+2k−5l2−8l−3)
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Największa liczba całkowita spełniająca nierówność to 3.
D. pięć rozwiązań.
B. trzy rozwiązania.
Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero (czynnik 4 nigdy nie jest zerem). Rozkładamy różnicę kwadratów x2−25=(x−5)(x+5):
4(x−1)2(x−5)(x+5)=0
Przyrównujemy każdy czynnik do zera:
(x−1)2=0⇒x=1x−5=0⇒x=5x+5=0⇒x=−5
Otrzymujemy trzy różne rozwiązania: x=−5, x=1, x=5.
x+y=1410oraz0,85y=0,70⋅0,80x
Z pierwszego równania wyznaczamy y=1410−x i podstawiamy do drugiego:
0,85(1410−x)=0,56x
Rozwiązujemy otrzymane równanie:
1198,5−0,85x=0,56x1,41x=1198,5x=850
W maju 2024 roku w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.
x(x+4)<x−2x2+4x−x+2<0x2+3x+2<0
Obliczamy wyróżnik trójmianu x2+3x+2:
Δ=32−4⋅1⋅2=1
Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
x1=2−3−1=−2,x2=2−3+1=−1
Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a wyrażenie x2+3x+2 przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami:
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział:
x∈(−2,−1)
1. (−5,3]; 2. [0,3]; 3. [−2,1]; 4. (−3,1]
Dziedziną funkcji jest suma dziedzin poszczególnych gałęzi:
(−5,−2]∪(−2,1]∪(1,3]=(−5,3]
Wyznaczamy zbiór wartości na każdej gałęzi. Na (−5,−2] funkcja −x−2 maleje od nieosiąganej wartości 3 (przy x→−5+) do wartości 0 przy x=−2, czyli przyjmuje wartości [0,3). Na (−2,1] funkcja jest stale równa 0. Na (1,3] funkcja x przyjmuje wartości (1,3]. Suma tych zbiorów daje cały przedział:
[0,3)∪{0}∪(1,3]=[0,3]
Wyznaczamy miejsca zerowe. Na (−5,−2] równanie −x−2=0 daje x=−2. Na (−2,1] funkcja jest tożsamościowo równa zeru, więc cały ten przedział to miejsca zerowe. Na (1,3] równanie x=0 nie ma rozwiązania w tym przedziale. Łącząc:
Obliczamy f(−3) (argument −3 należy do pierwszej gałęzi):
f(−3)=−(−3)−2=1
Rozwiązujemy nierówność f(x)<1 na każdej gałęzi. Na (−5,−2]: −x−2<1⇒x>−3, po przecięciu z dziedziną gałęzi daje (−3,−2]. Na (−2,1]: nierówność 0<1 jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział (−2,1] spełnia warunek. Na (1,3]: x<1 nie ma rozwiązań w tym przedziale. Suma rozwiązań:
A.(−∞,−1)
B.(−1,0)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
D. (1,+∞)
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji f, czyli argument x0, dla którego f(x0)=0:
21x0−k=0⟹x0=2k
Z warunku zadania miejsce zerowe jest większe od 2:
2k>2⟹k>1
Zatem liczba k należy do przedziału (1,+∞).
A.g(x)=5x−5
B.g(x)=5x−1
C.g(x)=5x+1
D.g(x)=5x+5
A. g(x)=5x−5
Przesunięcie wykresu o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox polega na zastąpieniu x przez x−1 we wzorze funkcji:
g(x)=f(x−1)=5(x−1)
Upraszczamy:
g(x)=5x−5
f(x)=3(x+1)2−12
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Obliczamy różnice kolejnych wyrazów: a1=0, a2=6, a3=18, więc a2−a1=6, a a3−a2=12. Różnice nie są sobie równe, zatem ciąg (an) NIE jest arytmetyczny — stwierdzenie pierwsze jest fałszywe (F).
Zapisujemy wzór ciągu w postaci iloczynowej:
an=3n2−3n=3n(n−1)
Liczby n i n−1 to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich zawsze jest parzysta, a ich iloczyn n(n−1) jest parzysty. Zatem 3n(n−1) też jest parzyste — wszystkie wyrazy ciągu są parzyste, stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).
A.(−1225)
B.(−2)
C.2
D.1225
A. (−1225)
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego an=a1+(n−1)r dla n=25:
a25=a1+24r2=52+24r24r=−50r=−2450=−1225
A.675
B.700
C.1300
D.1325
A. 675
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S25=2a1+a25⋅25=252+2⋅25=27⋅25=675
C. 2
W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
m2=4(m−1)m2−4m+4=0(m−2)2=0m=2
Sprawdzamy: dla m=2 ciąg to (4,2,1) o ilorazie q=21=0 — to poprawny ciąg geometryczny.
A.sin25∘
B.cos25∘
C.tg25∘
D.1
C. tg25∘
Wyłączamy sin25∘ przed nawias w liczniku:
cos25∘sin25∘(sin225∘+cos225∘)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej sin2α+cos2α=1 oraz definicji tangensa:
cos25∘sin25∘⋅1=tg25∘
FP
Z jedynki trygonometrycznej obliczamy cosα:
cos2α=1−sin2α=1−4916=4933cosα=733
Ponieważ 733=73, pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Kąty α i β to kąty ostre tego samego trójkąta prostokątnego, więc α+β=90∘, czyli β=90∘−α. Stąd cosβ=cos(90∘−α)=sinα=74 — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
B.4
C.5
D.1380
B. 4
Ponieważ 102+242=262, trójkąt jest prostokątny, a bok 26 jest przeciwprostokątną. Obliczamy jego pole:
P=21⋅10⋅24=120
Obliczamy połowę obwodu trójkąta:
s=210+24+26=30
Promień okręgu wpisanego w trójkąt to iloraz pola i połowy obwodu:
r=sP=30120=4
B.320
C.12
D.13
D. 13
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży na środku przeciwprostokątnej, więc przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu. Promień jest zatem równy połowie przeciwprostokątnej:
R=226=13
A.18∘
B.36∘
C.54∘
D.60∘
C. 54∘
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Niech długość boku kwadratu K1 będzie równa a. Ponieważ kwadrat K2 jest podobny do K1 w skali 5, bok kwadratu K2 jest równy 5a.
Suma pól obu kwadratów jest równa 78:
a2+(5a)2=78
Upraszczamy lewą stronę:
a2+25a2=26a2=78
Obliczamy a:
a2=3⟹a=3
p=56
Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta l też ma współczynnik kierunkowy równy 5. Ponieważ przecina oś Oy w punkcie (0,−4), jej równanie ma postać:
l:y=5x−4
Podstawiamy współrzędne punktu (p,2) do równania prostej l:
Z równania okręgu O odczytujemy jego środek i promień:
S=(−1,2),r=3
W symetrii osiowej względem osi Oy punkt o współrzędnych (x,y) przechodzi na punkt (−x,y), więc środek okręgu przechodzi na punkt:
S′=(1,2)
Promień się nie zmienia, więc okrąg K jest określony równaniem:
(x−1)2+(y−2)2=9
D.4
A. 2
Niech Pp oznacza pole podstawy, a Pb pole powierzchni bocznej. Z treści zadania Pb=4Pp, a pole całkowite to suma obu pól:
Pp+Pb=Pp+4Pp=5Pp
Ponieważ pole całkowite jest równe 20, obliczamy pole podstawy:
5Pp=20⟹Pp=4
Podstawa ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to kwadrat, więc jeśli a jest długością jego krawędzi:
a2=4⟹a=2
C.33
D.35
C. 33
Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, po przeciwnych stronach osi. Wysokość, promień podstawy i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między tworzącą a wysokością (osią stożka) jest równy połowie kąta rozwarcia, czyli 30°.
Tworząca l=6 jest przeciwprostokątną tego trójkąta, więc wysokość obliczamy z definicji cosinusa:
h=lcos30∘=6⋅23=33
P(A)=2417
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Sumujemy sześć podanych liczb, wyłączając wspólny czynnik 5:
2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5⋅36=180
Średnią arytmetyczną otrzymujemy, dzieląc sumę przez liczbę składników, czyli 6:
6180=30
1. 11; 2. Me=3,5; 3. Mo=4
Obliczamy średnią arytmetyczną liczby punktów: mnożymy każdy wynik przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali, sumujemy i dzielimy przez 32:
xˉ=320⋅4+1⋅2+2⋅5+3⋅5+4⋅11+5⋅5=3296=3
Wynik niższy od średniej (3) to 0, 1 lub 2 punkty. Liczymy uczniów z takim wynikiem:
4+2+5=11
Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie 32 wyniki w kolejności niemalejącej i szukamy 16. oraz 17. wyrazu. Uczniów z wynikiem nie większym niż 2 jest 4+2+5=11, a z wynikiem nie większym niż 3 jest 11+5=16, więc 16. wyraz to 3. Kolejny, 17. wyraz, należy już do grupy 11 uczniów z wynikiem 4, więc jest równy 4:
Dominantą jest wynik, który wystąpił najczęściej — najliczniejsza jest grupa 11 uczniów z wynikiem 4 punkty, więc:
Mo=4
A.3
B.4
C.7
D.14
A. 3
Zapisujemy wzór funkcji Z w postaci ogólnej, mnożąc nawiasy:
To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy x2, więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku, dla x=−2ab:
x=−2⋅(−50)300=100300=3
Liczba x=3 spełnia warunki x≥1 i x≤14, więc roczny zysk jest największy dla x=3.