Matura podstawowa czerwiec 2025, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczby

x_{1}

i

x_{2}

są różnymi rozwiązaniami równania

∣ x - 6∣ = 4

.

Iloczyn

x_{1} \cdot x_{2}

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

256 \cdot 3 8^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

2^{10}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Iloczyn $2 \cdot lo g_{3} 5$ jest równy $lo g_{3} 25$ .	P	F
Suma $2 + lo g_{3} 5$ jest równa $lo g_{3} 10$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

(3 + 1)^{2} - 12

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

a

, która przy dzieleniu przez

5

daje resztę

1

, i dla każdej liczby całkowitej

b

, która przy dzieleniu przez

5

daje resztę

4

, liczba

a^{2} - b^{2}

jest podzielna przez

5

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a^{2} - b^{2} = 5 \cdot (5 k^{2} + 2 k - 5 l^{2} - 8 l - 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dana jest nierówność

8 - \frac{1 - 2 x}{2} \geq 3 x

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Równanie

4 (x - 1)^{2} (x^{2} - 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

B. trzy rozwiązania.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

2 pkt

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie

1410

drzew. Po roku stwierdzono, że uschło

20%

drzew w pierwszym sadzie i

15%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

70%

liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

850

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (x + 4) < x - 2

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- 2, - 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x - 2 0 x dla x \in (- 5, - 2] dla x \in (- 2, 1] dla x \in (1, 3]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji

f

jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < f (- 3)

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

(- 5, 3]

; 2.

[0, 3]

; 3.

[- 2, 1]

; 4.

(- 3, 1]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x - k

, gdzie

k

jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji

f

jest liczbą większą od

2

.

Liczba

k

należy do przedziału

Poprawna odpowiedź

D.

(1, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 5 x

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

f

przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi

O x

i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej

g

.

Funkcja

g

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

A.

g (x) = 5 x - 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

3 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji kwadratowej

f

przechodzi przez punkt

(2, 15)

. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu

x = - 1

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

1

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = 3 (x + 1)^{2} - 12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.1

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Suma

S_{3}

trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

24

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.2

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.	P	F
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami parzystymi.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.1

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, dane są wyrazy:

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

.

Różnica ciągu

(a_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- \frac{25}{12})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.2

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, dane są wyrazy:

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

.

Suma

S_{25}

dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

675

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(4, m, m - 1)

jest geometryczny, gdy liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Liczba

\frac{sin ^{3} 2 5 ^{\circ} + sin 2 5 ^{\circ} \cdot cos ^{2} 2 5 ^{\circ}}{cos 2 5 ^{\circ}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

tg 2 5^{\circ}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych

α

oraz

β

(zobacz rysunek). Sinus kąta

α

jest równy

\frac{4}{7}

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta $α$ jest równy $\frac{3}{7}$ .	P	F
Cosinus kąta $β$ jest równy $\frac{4}{7}$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19.1

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości

10

,

24

,

26

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19.2

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości

10

,

24

,

26

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

13

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Na dziesięciokącie foremnym

A B C D E F G H I J

opisano okrąg o środku w punkcie

S

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego

A G D

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5 4^{\circ}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Kwadrat

K_{2}

jest podobny do kwadratu

K_{1}

w skali

5

(zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa

78

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu

K_{1}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = 5 x + 7

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przecina oś

O y

w punkcie

(0, - 4)

. Punkt o współrzędnych

(p, 2)

należy do prostej

l

.

Oblicz

p

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

p = \frac{6}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

O : (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

Okrąg

K

jest obrazem okręgu

O

w symetrii osiowej względem osi

O y

układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

K

jest określony równaniem

Poprawna odpowiedź

D.

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

4 pkt

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

94, 5

. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym

4

.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 27

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe

20

. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Tworząca stożka ma długość

6

. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę

60°

.

Wysokość tego stożka jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

33

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Dane są dwa zbiory:

X = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}

oraz

Y = {- 2, - 1, 0, 1}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

X

, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru

Y

i tworzymy uporządkowaną parę liczb

(x, y)

, gdzie

x

jest liczbą wylosowaną ze zbioru

X

oraz

y

jest liczbą wylosowaną ze zbioru

Y

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb

(x, y)

, która będzie spełniać warunek

x \cdot y \geq 0

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{17}{24}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra

0

, jest

Poprawna odpowiedź

B.

117

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a

,

b

,

c

, jest równa

12

.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb:

2 a

,

3 a

,

2 b

,

3 b

,

2 c

,

3 c

, jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

30

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

3 pkt

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez

32

uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	4	2	5	5	11	5

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie ___ uczniów tej klasy.
2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ___.
3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

11

; 2.

M e = 3, 5

; 3.

M o = 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

1 pkt

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk

Z

ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

Z (x) = (500 + 50 x) (16 - x)

gdzie:

x

– kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki

x \geq 1

i

x \leq 14

,

Z

– roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk

Z

ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla

x

równego

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku