Matura podstawowa maj 2022, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

(28 - 32)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Dodatnie liczby

x

i

y

spełniają warunek

2 x = 3 y

. Wynika stąd, że wartość wyrażenia

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x \cdot y}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{13}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

4 lo g_{4} 2 + 2 lo g_{4} 8

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o

10%

w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa

78732

zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do

1

zł, równa

Poprawna odpowiedź

B.

97200

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Liczba

3^{2 + \frac{1}{4}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

3^{2} \cdot 43

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Rozwiązaniem układu równań

{11 x - 11 y = 1 22 x + 22 y = - 1

jest para liczb:

x = x_{0}

,

y = y_{0}

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

B.

x_{0} > 0

i

y_{0} < 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{2}{5} - \frac{x}{3} > \frac{x}{5}

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

(- \infty, \frac{3}{4})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania

2 x (x^{2} - 9) (x + 1) = 0

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

.

Iloczyn

f (- 3) \cdot f (0) \cdot f (4)

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

(- 8)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji

f

określonej na zbiorze

⟨ - 4, 5 ⟩

.

Funkcję

g

określono za pomocą funkcji

f

. Wykres funkcji

g

przedstawiono na rysunku 2.

Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

D.

g (x) = f (x + 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = - \frac{1}{3} (x + 3) + 5

jest liczba

Poprawna odpowiedź

D.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = 3 x^{2} + b x + c

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (- 3, 2)

. Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to

Poprawna odpowiedź

B.

f (x) = 3 (x + 3)^{2} + 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{2 n ^{2} - 30 n}{n}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Wtedy

a_{7}

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

(- 16)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

,

a_{5} = - 31

oraz

a_{10} = - 66

. Różnica tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- 7)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, są dodatnie i

9 a_{5} = 4 a_{3}

. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{2}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Liczba

cos 12° \cdot sin 78° + sin 12° \cdot cos 78°

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

leżą na okręgu o środku

S

. Punkt

D

jest punktem przecięcia cięciwy

A C

i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu

B

. Miara kąta

B S C

jest równa

α

, a miara kąta

A D B

jest równa

γ

(zobacz rysunek).

Wtedy kąt

A B D

ma miarę

Poprawna odpowiedź

B.

180° - \frac{α}{2} - γ

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

P

leżą na okręgu o środku

S

i promieniu

6

. Czworokąt

A S B P

jest rombem, w którym kąt ostry

P A S

ma miarę

60°

(zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

12 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa

63

. Pole tego trójkąta jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

363

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Boki równoległoboku mają długości

6

i

10

, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę

120°

. Pole tego równoległoboku jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

303

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Punkty

A = (- 2, 6)

oraz

B = (3, b)

leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy

b

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

(- 9)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Dane są cztery proste

k

,

l

,

m

,

n

o równaniach:

k : y = - x + 1 l : y = \frac{2}{3} x + 1

m : y = - \frac{3}{2} x + 4 n : y = - \frac{2}{3} x - 1

Wśród tych prostych prostopadłe są

Poprawna odpowiedź

C. proste

l

oraz

m

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Punkty

K = (4, - 10)

i

L = (b, 2)

są końcami odcinka

K L

. Pierwsza współrzędna środka odcinka

K L

jest równa

(- 12)

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

A.

b = - 28

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Punkty

A = (- 4, 4)

i

B = (4, 0)

są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu

A B C D

. Przekątna tego kwadratu ma długość

Poprawna odpowiedź

A.

410

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości

7

cm i

10

cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o

2

cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

280 cm^{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

a

. Punkty

E

,

F

,

G

,

B

są wierzchołkami ostrosłupa

E F GB

(zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

E F GB

jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{3 + 3}{2} \cdot a^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez

5

jest

Poprawna odpowiedź

B.

9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb:

2 x, 4, 6, 8, 11, 13

, jest równa

5

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

C.

x = - 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Rozwiąż nierówność:

3 x^{2} - 2 x - 9 \geq 7

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - 2] \cup [\frac{8}{3}, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

,

a_{1} = - 1

i

a_{4} = 8

. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

S_{100} = 14750

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = a

, spełniona jest nierówność

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} > (\frac{a + b}{2})^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód wprost: nierówność jest równoważna

(a - b)^{2} > 0

, prawdziwej dla każdych

a \neq = b

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i

tg α = 2

. Oblicz wartość wyrażenia

sin^{2} α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

sin^{2} α = \frac{4}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Dwusieczna kąta

B A C

przecina bok

B C

w takim punkcie

D

, że trójkąty

A B C

i

B D A

są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta

B A C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣∠ B A C ∣ = 72°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

Ze zbioru dziewięcioelementowego

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie

A

polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru

M

, których iloczyn jest równy

24

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{4}{81}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

5 pkt

Wykres funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

ma z prostą o równaniu

y = 6

dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty

A = (- 5, 0)

i

B = (3, 0)

należą do wykresu funkcji

f

. Oblicz wartości współczynników

a

,

b

oraz

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = - \frac{3}{8}

,

b = - \frac{3}{4}

,

c = \frac{45}{8}

Rozwiązanie krok po kroku