Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (an), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1, są dodatnie i 9a5=4a3. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek).
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC.
Ze zbioru dziewięcioelementowego M={1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax2+bx+c ma z prostą o równaniu y=6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A=(−5,0) i B=(3,0) należą do wykresu funkcji f. Oblicz wartości współczynników a, b oraz c.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Podstawiamy do wyrażenia w nawiasie i wykonujemy odejmowanie:
Dzielimy licznik przez mianownik (upraszczamy y2, bo y>0):
x⋅yx2+y2=23y2413y2=413⋅32=613
B.16
C.5
D.6log416
C. 5
Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi nlogab=logabn:
4log42=log424=log4162log48=log482=log464
Sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm iloczynu:
log416+log464=log4(16⋅64)=log41024
Ponieważ 45=1024, otrzymujemy:
log41024=5
B. 97200 zł
Niech c oznacza cenę działki przed obniżkami. Każda obniżka o 10% oznacza pomnożenie aktualnej ceny przez 0,9, więc po dwóch obniżkach otrzymujemy równanie:
c⋅0,9⋅0,9=78732
Upraszczamy równanie:
c⋅0,81=78732
Wyznaczamy c:
c=0,8178732=97200
B.433
C.32+43
D.32+434
A. 32⋅43
Korzystamy ze wzoru na potęgę o wykładniku będącym sumą: am+n=am⋅an:
32+41=32⋅341
Potęgę o wykładniku 41 zapisujemy jako pierwiastek czwartego stopnia:
341=43
Zatem:
32+41=32⋅43
A.x0>0 i y0>0B.x0>0 i y0<0C.x0<0 i y0>0D.x0<0 i y0<0
B. x0>0 i y0<0
Dzielimy pierwsze równanie przez 11, a drugie przez 22:
x−y=111x+y=−221
Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć x0:
2x=111−221=222−221=221x0=441
Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć y0:
2y=−221−111=−221−222=−223y0=−443
Zatem x0=441>0, a y0=−443<0.
A.(−∞,0)
B.(0,+∞)
C.(−∞,43)
D.(43,+∞)
C. (−∞,43)
Mnożymy obie strony nierówności przez wspólny mianownik 15 (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia):
15(52−3x)>15⋅5x
Wykonujemy mnożenie:
6−5x>3x
Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę nierówności:
6>8x
Dzielimy obie strony przez 8:
x<43
C.0
D.9
C. 0
Iloczyn czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zero. Wyznaczamy wszystkie rozwiązania:
2x=0⟹x=0,x2−9=0⟹x=−3 lub x=3,x+1=0⟹x=−1
Mnożymy wszystkie znalezione rozwiązania:
0⋅(−3)⋅3⋅(−1)=0
A.(−12)
B.(−8)
C.0
D.16
B. (−8)
Środkowy, rosnący fragment wykresu łączy punkty (−4,−3) i (3,4). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
a=3−(−4)4−(−3)=77=1
Wzór tego fragmentu to f(x)=x+1 dla x∈[−4,3]. Odczytujemy potrzebne wartości: dla x=−3 i x=0 korzystamy z tego wzoru, a dla x=4 funkcja jest już stała i równa 4 (fragment poziomy od x=3 do x=8):
Obliczamy iloczyn:
f(−3)⋅f(0)⋅f(4)=(−2)⋅1⋅4=−8
A.g(x)=f(x)−2
B.g(x)=f(x−2)
C.g(x)=f(x)+2
D.g(x)=f(x+2)
D. g(x)=f(x+2)
Odczytujemy z obu wykresów współrzędne charakterystycznych punktów (końce dziedziny i miejsca załamań):
Każdy punkt wykresu g powstaje z odpowiadającego punktu wykresu f przez odjęcie 2 od współrzędnej x, np. (−4,1)→(−6,1). Oznacza to przesunięcie wykresu f o 2 w lewo, czyli:
g(x)=f(x+2)
A.(−3)
B.29
C.5
D.12
D. 12
Miejsce zerowe wyznaczamy, przyrównując wzór funkcji do zera:
−31(x+3)+5=0
Przekształcamy równanie:
−31(x+3)=−5x+3=15x=12
A.f(x)=3(x−3)2+2
B.f(x)=3(x+3)2+2
C.f(x)=(x−3)2+2
D.f(x)=(x+3)2+2
B. f(x)=3(x+3)2+2
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to f(x)=a(x−p)2+q, gdzie (p,q) to współrzędne wierzchołka, a współczynnik a jest taki sam jak w postaci ogólnej.
Podstawiamy a=3 oraz p=−3, q=2 (bo W=(−3,2)):
f(x)=3(x−(−3))2+2=3(x+3)2+2
A.(−196)
B.(−32)
C.(−26)
D.(−16)
D. (−16)
Upraszczamy wzór ciągu, dzieląc licznik przez n:
an=n2n2−30n=2n−30
Podstawiamy n=7:
a7=2⋅7−30=14−30=−16
A.(−7)
B.(−19,4)
C.7
D.19,4
A. (−7)
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a10=a5+5r, gdzie r to różnica ciągu.
a10−a5=5r
Podstawiamy dane wartości i wyznaczamy różnicę:
−66−(−31)=5r−35=5rr=−7
A.32
B.23
C.92
D.29
A. 32
Wyrażamy a5 przez a3 i iloraz q:
a5=a3⋅q2
Podstawiamy do równania 9a5=4a3 i dzielimy obie strony przez a3 (wyraz dodatni, więc a3=0):
Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni:
q=32
B.22
C.23
D.1
D. 1
Wyrażenie ma postać wzoru na sinus sumy kątów: sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β).
Podstawiamy α=12°, β=78°:
cos12°⋅sin78°+sin12°⋅cos78°=sin(12°+78°)=sin90°
Obliczamy:
sin90°=1
A.2α+γ−180°
B.180°−2α−γ
C.180°−α−γ
D.α+γ−180°
B. 180°−2α−γ
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Czworokąt ASBP jest rombem, więc kąty przy sąsiednich wierzchołkach sumują się do 180°. Kąt PAS=60°, więc kąt przy wierzchołku S:
∠ASB=180°−60°=120°
Punkty A i B leżą na okręgu o środku S i promieniu 6, a kąt ASB=120° jest kątem środkowym wycinka koła ograniczonego promieniami SA, SB i łukiem AB przechodzącym przez P: to właśnie zakreskowana na rysunku figura.
Pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym β:
P=360°β⋅πr2=360°120°⋅π⋅62=31⋅36π=12π
B.43
C.273
D.363
D. 363
Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego o boku a: h=2a3, stąd wyznaczamy bok:
a=32h=32⋅63=12
Obliczamy pole ze wzoru P=4a23:
P=4122⋅3=41443=363
C.603
D.60
A. 303
Pole równoległoboku o bokach a, b i kącie α między nimi wyraża się wzorem P=a⋅b⋅sinα. Podstawiamy dane:
P=6⋅10⋅sin120°=60⋅23=303
C.(−4)
D.4
B. (−9)
Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma wzór y=kx.
Podstawiamy współrzędne punktu A, aby wyznaczyć k:
6=k⋅(−2)⟹k=−3
Podstawiamy k i pierwszą współrzędną punktu B:
b=k⋅3=−3⋅3=−9
A. proste k oraz l.
B. proste k oraz n.
C. proste l oraz m.
D. proste m oraz n.
C. proste l oraz m.
Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy −1.
Sprawdzamy iloczyny współczynników kierunkowych dla par prostych:
Liczba czterocyfrowa nieparzysta i podzielna przez 5 musi kończyć się cyfrą, która jest jednocześnie nieparzysta i sprawia, że liczba dzieli się przez 5: jedyna taka cyfra to 5. Na miejscu jedności mamy więc 1 możliwość.
Na miejscu tysięcy nie może stać 0 (liczba ma być czterocyfrowa), więc mamy 9 możliwości (1–9).
Na miejscu setek i na miejscu dziesiątek może stać dowolna cyfra od 0 do 9, czyli po 10 możliwości na każdym z tych miejsc.
Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb jest równa:
9⋅10⋅10⋅1
D.x=6
C. x=−6
Zapisujemy równanie na średnią arytmetyczną:
62x+4+6+8+11+13=5
Upraszczamy i rozwiązujemy:
2x+42=302x=−12x=−6
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (a,b), gdzie a,b∈M. Ponieważ losowanie odbywa się ze zwracaniem, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
∣Ω∣=9⋅9=81
Zdarzeniu A sprzyjają te pary liczb ze zbioru M, których iloczyn wynosi 24:
(3,8),(4,6),(6,4),(8,3)
Zatem liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest równa ∣A∣=4.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
P(A)=∣Ω∣∣A∣=814
a=−83, b=−43, c=845
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.