Matura podstawowa maj 2018 (F. 2005), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4

jest równa

B.

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

3 \frac{7}{3} \cdot 3 \frac{81}{56}

jest równa

C.

\frac{3}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Dane są liczby

a = 3, 6 \cdot 1 0^{- 12}

oraz

b = 2, 4 \cdot 1 0^{- 20}

. Wtedy iloraz

\frac{a}{b}

jest równy

C.

1, 5 \cdot 1 0^{8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Cena roweru po obniżce o

15%

była równa

850

zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował

C.

1000, 00

zł

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{1 - 2 x}{2} > \frac{1}{3}

jest przedział

A.

(- \infty, \frac{1}{6})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem

f (x) = - 2 (x + 3) (x - 5)

. Liczby

x_{1}

,

x_{2}

są różnymi miejscami zerowymi funkcji

f

. Zatem

C.

x_{1} + x_{2} = 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Równanie

\frac{x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 4} = 0

D. ma jedno rozwiązanie:

x = 0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Funkcja liniowa

f

określona jest wzorem

f (x) = \frac{1}{3} x - 1

, dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

. Wskaż zdanie prawdziwe.

D. Funkcja

f

jest rosnąca i jej wykres przecina oś

O y

w punkcie

P = (0, - 1)

.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = x^{2} - 6 x - 3

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

C.

(3, - 12)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

1 pkt

Liczba

1

jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = a x + b

, a punkt

M = (3, - 2)

należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik

a

we wzorze tej funkcji jest równy

D.

- 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{5 - 2 n}{6}

dla

n \geq 1

. Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa

r = - \frac{1}{3}

.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

1 pkt

Dla ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest spełniony warunek

a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12

. Wtedy

A.

a_{5} = 4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

, w którym

a_{1} = 2

,

a_{2} = 22

,

a_{3} = 42

. Wzór na

n

-ty wyraz tego ciągu ma postać

B.

a_{n} = \frac{2 ^{n}}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

1 pkt

Przyprostokątna

L M

trójkąta prostokątnego

K L M

ma długość

3

, a przeciwprostokątna

K L

ma długość

8

(zobacz rysunek).

Wówczas miara

α

kąta ostrego

L M K

tego trójkąta spełnia warunek

C.

21° < α \leq 24°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

1 pkt

Dany jest trójkąt o bokach długości:

25

,

35

,

45

. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości

A.

10, 15, 20

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Dany jest okrąg o środku

S

. Punkty

K

,

L

i

M

leżą na tym okręgu. Na łuku

K L

tego okręgu są oparte kąty

K S L

i

K M L

(zobacz rysunek), których miary

α

i

β

, spełniają warunek

α + β = 111°

. Wynika stąd, że

A.

α = 74°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

1 pkt

Dany jest trapez prostokątny

K L M N

, którego podstawy mają długości

∣ K L ∣ = a

,

∣ M N ∣ = b

,

a > b

. Kąt

K L M

ma miarę

60°

. Długość ramienia

L M

tego trapezu jest równa

B.

2 (a - b)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

1 pkt

Średnicą okręgu jest odcinek

K L

, gdzie

K = (6, 8)

,

L = (- 6, - 8)

. Równanie tego okręgu ma postać

B.

x^{2} + y^{2} = 100

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

Proste o równaniach

y = (m + 2) x + 3

oraz

y = (2 m - 1) x - 3

są równoległe, gdy

B.

m = 3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat

K L M N

o boku długości

4

. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź

N S

, a jej długość też jest równa

4

(zobacz rysunek).
Kąt

α

, jaki tworzą krawędzie

K S

i

M S

, spełnia warunek

D.

α = 60°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości

3

i

4

. Kąt

α

, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy

45°

(zobacz rysunek).
Wysokość graniastosłupa jest równa

A.

5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa

r

i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa

A.

\frac{5}{3} π r^{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

W zestawie

m liczb 2, 2, 2, ..., 2, m liczb 4, 4, 4, ..., 4

jest

2 m

liczb

(m \geq 1)

, w tym

m

liczb

2

i

m

liczb

4

.
Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

B.

1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż

2018

i podzielnych przez

5

?

D.

204

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

W pudełku jest

50

kuponów, wśród których jest

15

kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

D.

\frac{35}{50}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 3 x > 5

.

x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

2 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28 = 0

.

x = - 2

,

x = 2

lub

x = 7

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

2 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich

a

,

b

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} \geq \frac{2}{a + b}

.

Nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich

a

,

b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

2 pkt

Okręgi o środkach odpowiednio

A

i

B

są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku

A

jest równy

2

.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku

B

jest mniejszy od

2 - 1

.

r < 2 - 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

2 pkt

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = a^{x}

(gdzie

a > 0

i

a \neq = 1

), należy punkt

P = (2, 9)

. Oblicz

a

i zapisz zbiór wartości funkcji

g

, określonej wzorem

g (x) = f (x) - 2

.

a = 3

,

Z W_{g} = (- 2, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

2 pkt

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

30

, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa

162

. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

a_{1} = - 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32

5 pkt

W układzie współrzędnych punkty

A = (4, 3)

i

B = (10, 5)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

. Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = 2 x + 3

. Oblicz współrzędne punktu

C

, dla którego kąt

A B C

jest prosty.

C = (\frac{32}{5}, \frac{79}{5})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33

4 pkt

Dane są dwa zbiory:

A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700}

i

B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez

3

. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

\frac{16}{49}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 34

4 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

453

. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

V = \frac{81}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie