Matura rozszerzona kwiecień 2020, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Niech

L = lo g_{2} 2 \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

D.

L = 4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Okrąg o równaniu

(x - 3)^{2} + (y + 7)^{2} = 625

jest styczny do okręgu o środku

S = (12, 5)

i promieniu

r

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

C.

r = 10

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{4}{3} x + 5 < 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

, określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

, poprowadzonej w punkcie

A = (6, \frac{36}{5})

tego wykresu.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności, pierwszą i drugą cyfrę po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

0, 9, 6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

W trójkącie

A B C

kąt

B A C

jest dwa razy większy od kąta

A B C

. Wykaż, że prawdziwa jest równość

∣ B C ∣^{2} - ∣ A C ∣^{2} = ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣

.

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnego kąta

α \in (0, \frac{π}{2})

prawdziwa jest nierówność

sin (\frac{π}{12} - α) \cdot cos (\frac{π}{12} + α) < \frac{1}{4}

.

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest równoważna nierówności

sin 2 α > 0

, która jest prawdziwa dla

α \in (0, \frac{π}{2})

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Wykaż, że równanie

x^{8} + x^{2} = 2 (x^{4} + x - 1)

ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste

x = 1

.

Poprawna odpowiedź

Równanie jest równoważne równaniu

(x^{4} - 1)^{2} + (x - 1)^{2} = 0

, które ma jedyne rozwiązanie

x = 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru

{0, 1, 3, 5, 7, 9}

, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa

3

.

Poprawna odpowiedź

\frac{22}{5 \cdot 6 ^{7}} = \frac{11}{699840}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Dany jest rosnący ciąg geometryczny

(a, a q, a q^{2})

, którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o

4

, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz

a q

tego ciągu.

Poprawna odpowiedź

a q = 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg okręgów

(o_{n})

o równaniach

x^{2} + y^{2} = 2^{11 - n}

,

n \geq 1

. Niech

P_{k}

będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem

o_{2 k - 1}

i wewnętrznym okręgiem

o_{2 k}

. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni

P_{k}

, gdzie

k \geq 1

.

Poprawna odpowiedź

\frac{2 ^{11} π}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

5 pkt

Trapez prostokątny

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

jest opisany na okręgu. Ramię

B C

ma długość

10

, a ramię

A D

jest wysokością trapezu. Podstawa

A B

jest

2

razy dłuższa od podstawy

C D

. Oblicz pole tego trapezu.

Poprawna odpowiedź

72

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

5 pkt

Wierzchołki

A

i

B

trójkąta prostokątnego

A B C

leżą na osi

O y

układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków

A B

,

B C

i

C A

w punktach - odpowiednio -

P = (0, 10)

,

Q = (8, 6)

i

R = (9, 13)

. Oblicz współrzędne wierzchołków

A

,

B

i

C

tego trójkąta.

Poprawna odpowiedź

A = (0, 0)

,

B = (0, 25)

,

C = (12, 9)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + (m + 1) (2 m - 1) = 0

ma dwa różne rozwiązania

x_{1}

,

x_{2}

spełniające warunki:

x_{1} \cdot x_{2} \neq = 0

oraz

0 < \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} \leq \frac{2}{3}

.

Poprawna odpowiedź

m \in ⟨ - \frac{1}{4}, 0) \cup (2, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.1

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
Wyznacz objętość

V

drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej

x

.

Poprawna odpowiedź

V (x) = 8 (11 x^{2} - 3 x^{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.2

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
Wyznacz dziedzinę funkcji

V

.

Poprawna odpowiedź

D_{V} = (0, \frac{5}{2} ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.3

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości

x

. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
Oblicz tę wartość

x

, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja

V

osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Poprawna odpowiedź

x = \frac{22}{9}

,

V_{m a x} = \frac{42592}{243} = 175 \frac{67}{243}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie