Matura rozszerzona czerwiec 2024

, aby rozwiązać online.

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa

m

związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością

m (t) = a \cdot 2^{- 0, 05 \cdot t} + b dla t \geq 0

gdzie:

m

– masa związku A wyrażona w gramach,

t

– czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili

t = 0

a, b

– współczynniki liczbowe. Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili

t = 0

) była równa

m_{0}

gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy

t \to \infty

) masa tego związku była równa

\frac{1}{9}

jego masy początkowej (zobacz rysunek).

Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało

87, 5%

masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

t = 120

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

2 pkt

Oblicz granicę

x \to 3^{-} lim \frac{∣ x - 3∣}{x ^{2} - 9}

Zapisz obliczenia.

- \frac{1}{6}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 4}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 4

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

P = (x_{0}, 5)

należy do wykresu funkcji

f

. Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

. Zapisz obliczenia.

x_{0} = 7

y = - x + 12

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

3 pkt

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.

P (A ∣ B) = \frac{1}{15}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc

(2 a - 1)^{2} \geq 0

dla każdego

a

, co jest równoważne dowodzonej nierówności.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe

a

oraz

b

, przy czym

a > b

. W ten trapez można wpisać okrąg.

Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od

a \cdot b

Pole trapezu jest równe

P = \frac{a + b}{2} \cdot ab

, a ponieważ

a > b

, to

P > a \cdot b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

o numerach nieparzystych jest równa

16

, tj.

a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots = 16

Ponadto

a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2} \cdot a_{2}

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

a_{n} = 12 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

4 pkt

W okrąg o promieniu

4

wpisano trójkąt

A B C

. Długość boku

A B

jest równa

6

. Bok

B C

ma długość

43

i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.

Oblicz długość boku

A C

trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

∣ A C ∣ = 21 - 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (6 x) + 3 \cdot sin (5 x) + sin (4 x) = 0

Zapisz obliczenia.

x = \frac{k π}{5} \lor x = - \frac{5}{6} π + 2 π k \lor x = \frac{5}{6} π + 2 π k

, gdzie

k \in Z

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

a

. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy

\frac{11}{6}

.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

P = \frac{3 a ^{2}}{2} + 32 a^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

3 x + y + 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = x^{2} - 2 x - 8

w punktach

A

oraz

B

, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

A B C D

. Wierzchołek

A

ma pierwszą współrzędną ujemną.

Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - \frac{1}{2} x + 1

i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu

C

od prostej zawierającej bok

A B

równoległoboku jest równa

\frac{9 10}{5}

.

Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

∣ B C ∣ = 213

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(3 - m) \cdot x^{2} + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^{2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} \cdot x_{2} + 7

Zapisz obliczenia.

m \in {1, \frac{- 3 - 2 42}{3}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13.1

2 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Wykaż, że objętość

V

każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13.2

4 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Objętość

V

ostrosłupa w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

dla

R \in (0, 6)

.

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

R = 4, V = 83

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie