W chwili początkowej (t=0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa m związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
m(t)=a⋅2−0,05⋅t+bdlat≥0
gdzie: m – masa związku A wyrażona w gramach, t – czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili t=0), a,b – współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili t=0) była równa m0 gramów.
Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy t→∞) masa tego związku była równa 91 jego masy początkowej (zobacz rysunek).
Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5% masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−42x+1 dla każdej liczby rzeczywistej x=4.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(x0,5) należy do wykresu funkcji f.
Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.
Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.
Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.
a1+a3+a5+…=16
Ponadto a1+a3=25⋅a2.
Wyznacz wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu (an). Zapisz obliczenia.
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy 611.
Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu 3x+y+2=0 przecina parabolę o równaniu y=x2−2x−8 w punktach A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną.
Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=−21x+1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa 5910.
Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
Wykaż, że objętość V każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
Objętość V ostrosłupa w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
V(R)=43⋅(6R2−R3)
dla R∈(0,6).
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.