Matura podstawowa czerwiec 2023, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność

∣ x + 5∣ < 15

jest

Poprawna odpowiedź

A.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

iloczyn

x \cdot 3 x \cdot 6 x

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

x

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

k

reszta z dzielenia liczby

49 k^{2} + 7 k - 2

przez

7

jest równa

5

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Liczba

49 k^{2} + 7 k - 2 = 7 \cdot (7 k^{2} + k - 1) + 5

, a

7 k^{2} + k - 1

jest liczbą całkowitą, więc reszta z dzielenia przez

7

wynosi

5

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Klient wpłacił do banku

30000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

7%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4347

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

lo g_{2} \frac{1}{8} + lo g_{2} 4

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

- 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

(1 + 5)^{2} - (1 - 5)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

45

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

0

i

2

wyrażenie

\frac{x ^{2} + x}{( x - 2 ) ^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x}

jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{x + 1}{x - 2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (2 x - 1) < 2 x

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (0, \frac{3}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

3 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 4 lub x = - 3 lub x = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\frac{( x ^{2} - 3 x ) ( x + 2 )}{x ^{2} - 4} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

B. dwa rozwiązania.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresy funkcji liniowych

f (x) = (2 m + 3) x + 5

oraz

g (x) = - x

nie mają punktów wspólnych dla

Poprawna odpowiedź

A.

m = - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

y = a x + b

przechodzi przez punkty

A = (- 3, - 1)

oraz

B = (4, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik

a

w równaniu tej prostej jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{4}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.1

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór	.....
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór	.....

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

FA

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < - 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(- 5, - 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + 1

, gdzie

a

oraz

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że

a < 0

i

b > 0

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji

f

przedstawiono na rysunku

A. B. C. D.

Poprawna odpowiedź

D.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.1

1 pkt

Masa

m

leku

L

zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

m (t) = m_{0} \cdot (0, 6)^{0, 25 t}

gdzie:

m_{0}

– masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili

t = 0

dawki leku,

t

– czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu

t = 0

zażycia leku.

Chory przyjął jednorazowo lek

L

w dawce

200

mg.

Oblicz, ile mg leku

L

pozostanie w organizmie chorego po

12

godzinach od momentu przyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

43, 2

mg

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.2

1 pkt

Masa

m

leku

L

zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

m (t) = m_{0} \cdot (0, 6)^{0, 25 t}

gdzie:

m_{0}

– masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili

t = 0

dawki leku,

t

– czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu

t = 0

zażycia leku.

Liczby

m (2, 5)

,

m (4, 5)

,

m (6, 5)

w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

q = \frac{3}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{n - 2}{3}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od

10

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

31

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1, 4, a + 5)

jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

a

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_{1} = 3, 75

oraz

a_{2} = - 7, 5

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

11, 25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego

α

wyrażenie

cos α - cos α \cdot sin^{2} α

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

cos^{3} α

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

2 pkt

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary

30°

,

45°

oraz

105°

. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio –

a

,

b

oraz

c

(zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ______ oraz ______.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

C i F

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Odcinek

A B

jest średnicą okręgu o środku

S

. Prosta

k

jest styczna do tego okręgu w punkcie

A

. Prosta

l

przecina ten okrąg w punktach

B

i

C

. Proste

k

i

l

przecinają się w punkcie

D

, przy czym

∣ B C ∣ = 4

i

∣ C D ∣ = 3

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu

A

od prostej

l

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

W trapezie

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

przekątne przecinają się w punkcie

E

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $A B E$ jest podobny do trójkąta $C D E$ .	P	F
Pole trójkąta $A C D$ jest równe polu trójkąta $B C D$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Na łukach

A B

i

C D

okręgu są oparte kąty wpisane

A D B

i

D B C

, takie, że

∣∠ A D B ∣ = 20°

i

∣∠ D B C ∣ = 40°

(zobacz rysunek). Cięciwy

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

K

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta

D K C

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

60°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Pole trójkąta równobocznego

T_{1}

jest równe

\frac{( 1 , 5 ) ^{2} \cdot 3}{4}

. Pole trójkąta równobocznego

T_{2}

jest równe

\frac{( 4 , 5 ) ^{2} \cdot 3}{4}

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt

T_{2}

jest podobny do trójkąta

T_{1}

w skali

A. $3$ ,	ponieważ	1. każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.
B. $9$ ,		2. pole trójkąta $T_{2}$ jest $9$ razy większe od pola trójkąta $T_{1}$ .
		3. bok trójkąta $T_{2}$ jest o $3$ dłuższy od boku trójkąta $T_{1}$ .

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Poprawna odpowiedź

A2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Pole równoległoboku

A B C D

jest równe

406

. Bok

A D

tego równoległoboku ma długość

10

, a kąt

A B C

równoległoboku ma miarę

135°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku

A B

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

83

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - x + 1

. Funkcja

g

jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

g

przechodzi przez punkt

P = (0, - 1)

i jest prostopadły do wykresu funkcji

f

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji

g

jest

Poprawna odpowiedź

D.

g (x) = x - 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 1, 5)

oraz

C = (3, - 3)

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu

A B C D

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

40

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (1, 7)

oraz

P = (3, 1)

. Punkt

P

dzieli odcinek

A B

tak, że

∣ A P ∣ : ∣ P B ∣ = 1 : 3

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt

B

ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

B.

(9, - 17)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29.1

1 pkt

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku

6

. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość

12

i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.

Objętość tego ostrosłupa jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

144

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29.2

1 pkt

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku

6

. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość

12

i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

1 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny

A B C D E F A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}

, w którym krawędź podstawy ma długość

5

. Przekątna

A D^{'}

tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

45°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

50

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej

3

jest

Poprawna odpowiedź

D.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od

1

do

8

– losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.
Niech

A

oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby

8

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{1}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Działka ma kształt trapezu. Podstawy

A B

i

C D

tego trapezu mają długości

∣ A B ∣ = 400

m oraz

∣ C D ∣ = 100

m. Wysokość trapezu jest równa

75

m, a jego kąty

D A B

i

A B C

są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie

A B

tego trapezu, a dwa pozostałe –

E

oraz

F

– na ramionach

A D

i

B C

trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu

A B C D

jest sumą pól trapezów

A B F E

oraz

E F C D

:

P_{A B C D} = P_{A B F E} + P_{E F C D}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 50

m,

y = 200

m,

P_{ma x} = 10000

m

^{2}

Rozwiązanie krok po kroku