Zadanie 23 - Matura podstawowa 2023 (maj) - Rozwiązanie

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są proste

k

oraz

l

o równaniach

k : y = \frac{2}{3} x

l : y = - \frac{3}{2} x + 13

Proste

k

oraz

l

A.	są prostopadłe	i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych	1.	$(- 6, - 4)$
B.	nie są prostopadłe	i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych	2.	$(6, 4)$
		3.	$(- 6, 4)$

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Poprawna odpowiedź

Sprawdzamy, czy proste są prostopadłe, mnożąc ich współczynniki kierunkowe:
$a_{k} \cdot a_{l} = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1$
Iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $- 1$ , więc proste $k$ i $l$ są prostopadłe (odpowiedź A).
Wyznaczamy punkt przecięcia, przyrównując prawe strony równań:
$\frac{2}{3} x = - \frac{3}{2} x + 13 \frac{2}{3} x + \frac{3}{2} x = 13 \frac{4}{6} x + \frac{9}{6} x = 13 \frac{13}{6} x = 13 x = 6$
Obliczamy współrzędną $y$ , podstawiając $x = 6$ do równania prostej $k$ :
$y = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$
Punkt przecięcia to $P = (6, 4)$ (odpowiedź 2).

Podobne zadania z działu geometria analityczna