Matura podstawowa sierpień 2024 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Komputer początkowo kosztował

2950

zł. Po trzech miesiącach jego cenę obniżono o

20%

. Po kolejnym miesiącu nową cenę obniżono o kolejnych

20%

.

Cena komputera po tych dwóch obniżkach jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

1888

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

(\frac{4}{25})^{- 0, 5}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

(8 - 2) (2 + 8)

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{3 ( 6 - x )}{17} \leq 3

jest przedział

Poprawna odpowiedź

D.

⟨ - 11, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{x - 1}{2 x - 6} = \frac{4}{7}

jest liczba

Poprawna odpowiedź

D.

17

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Równanie

\frac{x ( x + 5 ) ( 2 - x )}{2 x + 4} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

C. trzy rozwiązania:

(- 5)

,

0

oraz

2

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

A.

{y = x + 2 y = 2 x - 3

B.

{y = - x + 2 y = 2 x - 3

C.

{y = x + 2 y = - 2 x - 3

D.

{y = - x + 2 y = 2 x + 3

Poprawna odpowiedź

B.

{y = - x + 2 y = 2 x - 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja

y = f (x)

jest określona za pomocą tabeli.

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$6$
$y$	$- 3$	$- 4$	$4$	$1$	$5$	$0$	$2$

Największa wartość funkcji

f

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja

y = f (x)

jest określona za pomocą tabeli.

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$6$
$y$	$- 3$	$- 4$	$4$	$1$	$5$	$0$	$2$

Miejsce zerowe funkcji

f

jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności

10

litrów ma masę

6, 5

kg. Jeden litr mleka ma masę

1, 03

kg.

Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

g (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in ⟨ 0, 10 ⟩

.
Największa wartość funkcji

g

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

16, 8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności

10

litrów ma masę

6, 5

kg. Jeden litr mleka ma masę

1, 03

kg.

Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

g (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in ⟨ 0, 10 ⟩

.
Funkcja

g

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

D.

g (x) = 1, 03 x + 6, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

D.

⟨ - 2, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

A.

x = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

C.

f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(2 m - 5, 4, 9)

jest arytmetyczny.

Liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, w którym

a_{2} = 2

oraz

a_{5} = 54

.

Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Suma

n

początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem

S_{n} = n^{2} + 2 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

W trójkącie prostokątnym

A B C

sinus kąta

C A B

jest równy

\frac{3}{5}

, a przeciwprostokątna

A B

jest o

8

dłuższa od przyprostokątnej

B C

.

Długość przeciwprostokątnej

A B

tego trójkąta jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{24}{25}

.

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{7}{24}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 5

,

∣ A C ∣ = 2

oraz

sin ∣ ∢ B A C ∣ = \frac{3}{5}

.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Punkty

K

,

L

oraz

M

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

. Miara kąta

K S M

jest równa

160°

(zobacz rysunek).
Miara kąta wpisanego

K L M

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

100°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (3 m - 2) x - 2

l : y = (2 m + 4) x + 2

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

odcinek o końcach

A = (- 4, 7)

oraz

B = (6, - 1)

jest średnicą okręgu

O

.
Środkiem okręgu

O

jest punkt o współrzędnych

Poprawna odpowiedź

A.

(1, 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa

12

.
Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Dany jest prostopadłościan

A B C D E F G H

, w którym podstawy

A B C D

i

E F G H

są kwadratami o boku długości

6

. Przekątna

B H

tego prostopadłościanu tworzy z przekątną

A H

ściany bocznej

A D H E

kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek).
Przekątna

B H

tego prostopadłościanu ma długość równą

Poprawna odpowiedź

C.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość

10

.
Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

376

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o

3

większa od cyfry jedności, jest

Poprawna odpowiedź

C.

7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez

32

uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.

Liczba punktów	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba uczniów	$2$	$2$	$5$	$6$	$11$	$6$

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

3, 25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (x + 2) \leq 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in ⟨ - 3, 1 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = 2 y

, prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 4 y^{2} - 4 > 4 (x y - 1)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność sprowadza się do

(x - 2 y)^{2} > 0

, co jest prawdziwe, bo

x \neq = 2 y

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3}{3} x - 3

.

W układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

y = f (x)

jest prostą, która jest nachylona do osi

O x

pod kątem ostrym

α

i przecina oś

O y

w punkcie

P

.

Oblicz sinus kąta

α

oraz drugą współrzędną punktu

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

sin α = \frac{1}{2}

,

y_{P} = - 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Ciąg

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

jest arytmetyczny.
Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o

12

większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu.

Oblicz różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

r = - 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

Podstawy trapezu prostokątnego

A B C D

mają długości:

∣ A B ∣ = 12

oraz

∣ C D ∣ = 6

. Wysokość

A D

tego trapezu ma długość

24

. Na odcinku

A D

leży punkt

E

taki, że

∣∠ B E A ∣ = ∣∠ C E D ∣

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka

B E

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B E ∣ = 20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

2 pkt

Dane są dwa zbiory:

C = {0, 4, 5, 7, 9}

oraz

D = {1, 2, 3}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

C

, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru

D

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od

9

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{4}{15}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 36

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S = (9, 11)

. Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x - 1

, a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 2 x - 4

.

Oblicz współrzędne wierzchołka

B

oraz długość odcinka

B S

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

B = (6, 2)

,

∣ B S ∣ = 310

Rozwiązanie krok po kroku