Matura rozszerzona maj 2018

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Dane są liczby:

a = \frac{4 8}{2}

b = \frac{1}{2 4 8}

c = 48

d = \frac{2}{4 8}

oraz

k = 2^{- \frac{1}{4}}

. Prawdziwa jest równość

Poprawna odpowiedź

k = a

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Równanie

∣ x ∣ - 2 = ∣ x ∣ + 2

Poprawna odpowiedź

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Wartość wyrażenia

2 lo g_{5} 10 - \frac{1}{lo g _{20} 5}

jest równa

Poprawna odpowiedź

1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Granica

x \to 3^{-} lim \frac{- x + 2}{x ^{2} - 5 x + 6}

jest równa

Poprawna odpowiedź

+ \infty

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Punkt

A = (- 5, 3)

jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem

f (x) = \frac{a x + 7}{x + d}

, gdy

x \neq = - d

. Oblicz iloraz

\frac{d}{a}

.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

166

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Styczna do paraboli o równaniu

y = 3 x^{2} - 1

w punkcie

P = (x_{0}, y_{0})

jest nachylona do osi

O x

pod kątem

30°

. Oblicz współrzędne punktu

P

Poprawna odpowiedź

P = (\frac{1}{6}, \frac{3 - 36}{36})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Trójkąt

A B C

jest ostrokątny oraz

∣ A C ∣ > ∣ B C ∣

. Dwusieczna

d_{C}

kąta

A C B

przecina bok

A B

w punkcie

K

. Punkt

L

jest obrazem punktu

K

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{A}

kąta

B A C

, punkt

M

jest obrazem punktu

L

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{C}

kąta

A C B

, a punkt

N

jest obrazem punktu

M

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{B}

kąta

A B C

(zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie

K N M L

można opisać okrąg.

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej

k

i dla każdej liczby całkowitej

m

liczba

k^{3} m - k m^{3}

jest podzielna przez

6

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Z liczb ośmioelementowego zbioru

Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Poprawna odpowiedź

\frac{5}{14}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru

V = \frac{1}{3} π H (r^{2} + r R + R^{2})

, gdzie

r

R

są promieniami podstaw (

r < R

), a

H

jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa

10

, objętość

840 π

, a

r = 6

. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.

Poprawna odpowiedź

\frac{9}{106}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin 6 x + cos 3 x = 2 sin 3 x + 1

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

Poprawna odpowiedź

x \in {0, \frac{7 π}{18}, \frac{11 π}{18}, \frac{2 π}{3}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0

ma dwa rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

(

x_{1} \neq = x_{2}

), spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

4 pkt

Wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, spełniają układ równań

{a_{3} + a_{6} = - 84 a_{4} + a_{7} = 168

Wyznacz liczbę

n

początkowych wyrazów tego ciągu, których suma

S_{n}

jest równa

32769

Poprawna odpowiedź

n = 15

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

6 pkt

Punkt

A = (7, - 1)

jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Obie współrzędne wierzchołka

C

są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt

A B C

ma równanie

x^{2} + y^{2} = 10

. Oblicz współrzędne wierzchołków

B

C

tego trójkąta.

Poprawna odpowiedź

B = (- \frac{17}{5}, \frac{31}{5}), C = (- 3, - \frac{13}{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.1

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
a) Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.

Poprawna odpowiedź

a \in (1, 2)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.2

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
b) Wykaż, że obwód

L

takiego trapezu, jako funkcja długości

a

dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem

L (a) = \frac{4 a ^{2} - 8 a + 8}{a}

Poprawna odpowiedź

L (a) = \frac{4 a ^{2} - 8 a + 8}{a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.3

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy

a

i wysokości trapezu jest równa

2

.
c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Poprawna odpowiedź

tg α = 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie