Matura podstawowa wrzesień 2020, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

(5 + 23)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

17 + 415

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczbę

4 9 \cdot 3

można zapisać w postaci

Poprawna odpowiedź

A.

3^{\frac{5}{8}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

2 lo g 5 + 3 lo g 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

lo g (5^{2} \cdot 2^{3})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

\frac{5 ( 4 - x )}{2} < x

jest liczba

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

W zestawie

250

liczb występują jedynie liczby

4

i

2

. Liczba

4

występuje

128

razy, a liczba

2

występuje

122

razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby

3

. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

0, 024

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Na początku miesiąca komputer kosztował

3500

zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o

10%

, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o

15%

. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

Poprawna odpowiedź

C.

2677, 50

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Funkcje liniowe

f

i

g

określone wzorami

f (x) = - 4 x + 12

i

g (x) = - 2 x + k + 3

mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

C.

k = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - (x + 9)^{2} + m

jest przedział

(- \infty, - 5 ⟩

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

B.

m = - 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 4 x + 7

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

A.

x = - 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

.Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

D.

{a > 0 c > 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{x ^{2} - 3 x}{x ^{2} + x} = 0

jest liczba

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Do okręgu o środku w punkcie

S = (2, 4)

należy punkt

P = (1, 3)

. Długość tego okręgu jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2 π 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Prosta

l

jest równoległa do prostej

y = - \frac{1}{2} x + 2

. Na prostej

l

leży punkt

P = (0, 7)

. Zatem równanie prostej

l

ma postać

Poprawna odpowiedź

D.

y = - \frac{1}{2} x + 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Punkt

S = (4, 8)

jest środkiem odcinka

P Q

, którego koniec

P

leży na osi

O y

, a koniec

Q

– na osi

O x

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

A.

P = (0, 16)

i

Q = (8, 0)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Przyprostokątna

A C

trójkąta prostokątnego

A B C

ma długość

6

, a wysokość

C D

dzieli go na dwa takie trójkąty

A D C

i

C D B

, że pole trójkąta

A D C

jest

4

razy większe od pola trójkąta

C D B

(zobacz rysunek).

Przyprostokątna

B C

trójkąta prostokątnego

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Punkty

P = (- 3, 4)

i

O = (0, 0)

leżą na jednej prostej. Kąt

α

jest kątem nachylenia tej prostej do osi

O x

(zobacz rysunek).

Wtedy tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

- \frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{2 5}{5}

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

B.

cos α = \frac{5}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, są dane dwa wyrazy:

a_{1} = 2

i

a_{2} = 5

. Stąd wynika, że

n

-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

Poprawna odpowiedź

A.

a_{n} = 3 n - 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

. Funkcja

f

dla argumentu

x = - 3

przyjmuje wartość

Poprawna odpowiedź

D.

8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Wielkości

x

i

y

są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

$x$	$a$	$3$	$8$
$y$	$36$	$24$	$b$

Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

D.

a = 2, b = 9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

Poprawna odpowiedź

B.

y = - 2 x i y = \frac{1}{2} x

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Dane są punkty

A = (4, 1)

,

B = (1, 3)

,

C = (4, - 1)

. Pole trójkąta

A B C

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od

2020

i podzielnych przez

4

?

Poprawna odpowiedź

D.

255

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o

9

większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest

Poprawna odpowiedź

D. dziesięciokąt

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe

12

. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

122

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność:

- 2 x^{2} + 5 x + 3 \leq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{1}{2} ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 1

lub

x = - \frac{6}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

a

i

b

prawdziwa jest nierówność

a (a + b) + b^{2} > 3 ab

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a (a + b) + b^{2} - 3 ab = (a - b)^{2} > 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Dwa okręgi o promieniach

r = 2

i

R = 6

są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej

k

. Wykaż, że prosta

l

przechodząca przez środki

S

i

P

tych okręgów przecina prostą

k

pod kątem

α = 30°

(zobacz rysunek).

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

sin α = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

, więc

α = 30°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{3} + 8) (x^{2} - 9) = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 3

,

x = - 2

,

x = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

W pudełku jest 8 kul, z czego 5 białych i 3 czarne. Do tego pudełka dołożono

n

kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe

\frac{11}{12}

. Oblicz

n

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

n = 28

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym podstawa

A B

ma długość 12, a każde z ramion

A C

i

B C

ma długość równą 10. Punkt

D

jest środkiem ramienia

B C

(zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta

α

, jaki środkowa

A D

tworzy z ramieniem

A C

trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

sin α = \frac{24}{5 97}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa

12

. Oblicz objętość tego stożka.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 72 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

Prosta o równaniu

y = - 2 x + 7

jest symetralną odcinka

P Q

, gdzie

P = (4, 5)

. Oblicz współrzędne punktu

Q

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Q = (- \frac{4}{5}, \frac{13}{5})

Rozwiązanie krok po kroku