Matura rozszerzona czerwiec 2020 (F. 2005)

, aby rozwiązać online.

4 pkt

Rozwiąż nierówność

(\frac{1}{x} - 1)^{- 1} \leq 1

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2} ⟩ \cup (1, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

3 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

∣ x - 5∣ = (a - 1)^{2} - 4

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Poprawna odpowiedź

a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

3 pkt

Liczby dodatnie

a

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).
Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

5 pkt

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

spełniona jest równość

a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{21}{4}

. Wyrazy

a_{1}

a_{2}

a_{3}

są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz

a_{1}

Poprawna odpowiedź

a_{1} = 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 cos 2 x + 10 cos^{2} x = 24 sin x - 3

dla

x \in ⟨ 0, 2 π ⟩

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π}{6}

lub

x = \frac{5 π}{6}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

Dane jest równanie kwadratowe

x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których różne rozwiązania

x_{1}

x_{2}

tego równania istnieją i spełniają warunek

2 x_{1}^{2} + 5 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = 2

Poprawna odpowiedź

m = - \frac{9}{5}

lub

m = \frac{1}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

4 pkt

W trójkącie równoramiennym

A B C

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 10

, a miara kąta

A B C

jest równa

30°

. Na boku

B C

wybrano punkt

P

, taki, że

\frac{∣ B P ∣}{∣ P C ∣} = \frac{2}{3}

. Oblicz sinus kąta

α

(zobacz rysunek).

Poprawna odpowiedź

sin α = \frac{1}{7}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

5 pkt

Prosta o równaniu

x + y - 10 = 0

przecina okrąg o równaniu

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 8 = 0

w punktach

K

L

. Punkt

S

jest środkiem cięciwy

K L

. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku

S

i skali

k = - 3

Poprawna odpowiedź

(x - 10)^{2} + (y - 9)^{2} = 153

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

5 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

2

. Na bokach

B C

C D

tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty

P

Q

, takie, że długość odcinka

∣ P C ∣ = ∣ Q D ∣ = x

(zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość

x

, dla której pole trójkąta

A P Q

osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

Poprawna odpowiedź

x = 1

, najmniejsze pole

\frac{3}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry

1

i dokładnie dwie cyfry

2

Poprawna odpowiedź

12960

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

6 pkt

Podstawą ostrosłupa czworokątnego

A B C D S

jest trapez

A B C D

(A B ∥ C D)

. Ramiona tego trapezu mają długości

∣ A D ∣ = 10

∣ B C ∣ = 16

, a miara kąta

A B C

jest równa

30°

. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt

α

, taki, że

tg α = \frac{9}{2}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Poprawna odpowiedź

V = 624

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie