Matura rozszerzona maj 2019 (F. 2005)

, aby rozwiązać online.

5 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{∣ x + 2∣}{x + 2} - x + 3∣ x - 1∣

, dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = - 2

. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Poprawna odpowiedź

⟨ 0, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

y

, takich że

x < y

, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

a

prawdziwa jest nierówność

\frac{x + a}{y + a} + \frac{y}{x} > 2

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla

0 < x < y

a > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Na ramieniu

A C

tego trójkąta wybrano punkt

M

(

M \neq = A

M \neq = C

), a na ramieniu

B C

wybrano punkt

N

, w taki sposób, że

∣ A M ∣ = ∣ C N ∣

. Przez punkty

M

N

poprowadzono proste prostopadłe do podstawy

A B

tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty

S

T

. Udowodnij, że

∣ S T ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣

Poprawna odpowiedź

∣ S T ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

5 pkt

Ciąg

(a, b, c)

jest geometryczny, ciąg

(a + 1, b + 5, c)

jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz

a + b + c = 39

. Oblicz

a, b, c

Poprawna odpowiedź

a = 25, b = 10, c = 4

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

6 pkt

Dane są okręgi o równaniach

x^{2} + y^{2} - 12 x - 8 y + 43 = 0

x^{2} + y^{2} - 2 a x + 4 y + a^{2} - 77 = 0

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Poprawna odpowiedź

a = 6

lub

a = 6 + 63

lub

a = 6 - 63

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

5 pkt

Wielomian określony wzorem

W (x) = 2 x^{3} + (m^{3} + 2) x^{2} - 11 x - 2 (2 m + 1)

jest podzielny przez dwumian

(x - 2)

oraz przy dzieleniu przez dwumian

(x + 1)

daje resztę

6

. Oblicz

m

oraz pierwiastki wielomianu

W

dla wyznaczonej wartości

m

Poprawna odpowiedź

m = 1

, pierwiastki:

2, - 3, - \frac{1}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

Rozwiąż równanie

cos 2 x = sin x + 1

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

Poprawna odpowiedź

x \in {0, π, 2 π, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

4 pkt

Punkt

D

leży na boku

A B

trójkąta

A B C

oraz

∣ A C ∣ = 16

∣ A D ∣ = 6

∣ C D ∣ = 14

∣ B C ∣ = ∣ B D ∣

. Oblicz obwód trójkąta

A B C

Poprawna odpowiedź

L_{A B C} = 120

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = (2 m + 1) x^{2} + (m + 2) x + m - 3

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

spełniające warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} + 5 x_{1} x_{2} \geq 1

Poprawna odpowiedź

m \in (- \frac{4}{7}, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0 ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

3 pkt

Ze zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{8}{27}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

6 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest prostokąt

A B C D

, którego boki mają długości

∣ A B ∣ = 32

∣ B C ∣ = 18

. Ściany boczne

A B S

C D S

są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem

α

. Ściany boczne

B C S

A D S

są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

β

. Miary kątów

α

β

spełniają warunek:

α + β = 9 0^{\circ}

. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Poprawna odpowiedź

P_{c} = 1416

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie