Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1200000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
735000 zł
Oznaczmy przez x kwotę przyznaną zespołowi A, a przez y kwotę przyznaną zespołowi B. Warunki zadania zapisujemy w postaci układu równań:
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ___. 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ___. 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ___. 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=3 jest przedział ___.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3).
Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3).
Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x)−3. Liczby x1 oraz x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji g.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC – przez β (zobacz rysunek).
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC – przez β (zobacz rysunek).
W trójkącie równoramiennym ABC dane są: ∣AC∣=∣BC∣=4 i ∣AB∣=3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano taki punkt D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ___. 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ___.
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek).
Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Podstawiamy, odejmujemy pierwiastki i obliczamy kwadrat:
(42−2)2=(32)2=9⋅2=18
A.30
B.31
C.512
D.527
B. 31
Wyłączamy 512 przed nawias w liczniku:
512512(1+5+52)
Skracamy i obliczamy:
1+5+25=31
C.log3104
D.2log354
A. 3
Stosujemy wzór na logarytm potęgi: 2log32=log322=log34:
log3108−log34
Stosujemy wzór na logarytm ilorazu i obliczamy:
log3108−log34=log34108=log327=3
B.5x2+13
C.5x2+24x−5
D.5x2+24x−13
C. 5x2+24x−5
Liczymy pierwszy nawias:
(3x+2)2=9x2+12x+4
Liczymy drugi nawias:
(2x−3)2=4x2−12x+9
Odejmujemy wyrażenia:
(9x2+12x+4)−(4x2−12x+9)=5x2+24x−5
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Usuwamy nawias (mnożymy przez −2) i porządkujemy lewą stronę:
3−2(1−2x)≥2x−173−2+4x≥2x−171+4x≥2x−17
Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą, i dzielimy przez 2:
4x−2x≥−17−12x≥−18x≥−9
Zbiorem rozwiązań jest przedział [−9,∞) — na osi liczbowej odpowiada mu zamalowany punkt w −9 (bo nierówność jest nieostra) i zaznaczenie liczb większych, czyli rysunek D.
C. trzy rozwiązania: (−5), (−3) oraz 0.
D. cztery rozwiązania: (−5), (−3), 0 oraz 5.
A. (−3) oraz 0
Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:
2x=0∨x+3=0∨x2+25=0
Z pierwszych dwóch czynników otrzymujemy:
x=0x=−3
Trzeci czynnik x2+25=0 oznacza x2=−25, a to nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.
Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: (−3) oraz 0.
A.4x+4x+2
B.4x+5x+1
C.x+2x+1
D.x+22x
C. x+2x+1
Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka na czynniki:
x2+x=x(x+1),x2+4x+4=(x+2)2
Podstawiamy i zapisujemy iloczyn ułamków:
(x+2)2x(x+1)⋅xx+2
Skracamy x w licznikach i mianownikach oraz jeden czynnik (x+2):
(x+2)2x(x+1)⋅xx+2=x+2x+1
{x+y=12000000,13x+0,11y=146700
Z pierwszego równania wyznaczamy y=1200000−x i podstawiamy do drugiego:
0,13x+0,11(1200000−x)=146700
Wymnażamy nawias i rozwiązujemy równanie:
0,13x+132000−0,11x=1467000,02x=14700x=735000
Zespołowi A przyznano kwotę 735000 zł.
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy:
3(2x2+1)<11x6x2+3−11x<06x2−11x+3<0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 6x2−11x+3:
Δ=(−11)2−4⋅6⋅3=121−72=49
Wyznaczamy miejsca zerowe:
x1=1211−7=31,x2=1211+7=23
Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne (bo mamy znak <0) – to przedział między miejscami zerowymi:
x∈(31,23)
1. [−4,4); 2. (−3,3]; 3. [−4,3); 4. [−2,2]
Dziedziną funkcji jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
[−4,−2]∪(−2,2]∪(2,4)=[−4,4)
Odczytujemy wartości funkcji na poszczególnych kawałkach: na pierwszym (x+5) wartości rosną od f(−4)=1 do f(−2)=3, na drugim funkcja jest stała i równa 3, a na trzecim (−3x+9) wartości maleją od 3 (wyłącznie) do −3 (wyłącznie). Łącząc te zbiory wartości, otrzymujemy przedział:
(−3,3]
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie tam, gdzie wykres leży powyżej osi Ox. Na pierwszym i drugim kawałku wartości są dodatnie na całej ich dziedzinie. Na trzecim kawałku rozwiązujemy nierówność:
−3x+9>0⟹x<3
Łącząc powyższe przedziały ([−4,−2], (−2,2] oraz (2,3)), otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
[−4,3)
Rozwiązujemy równanie f(x)=3 na każdym kawałku. Na pierwszym:
x+5=3⟹x=−2
Ten wynik należy do dziedziny pierwszego kawałka. Na drugim kawałku funkcja jest stale równa 3 dla każdego x∈(−2,2]. Na trzecim:
−3x+9=3⟹x=2
Wartość x=2 nie należy do dziedziny trzeciego kawałka (jest już uwzględniona w drugim). Łącząc rozwiązania, otrzymujemy zbiór:
[−2,2]
f(x)=−31(x−3)2+6
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej, wykorzystując współrzędne wierzchołka (3,6):
f(x)=a(x−3)2+6,a=0
Parabola przechodzi przez punkt (0,3), więc f(0)=3:
a(0−3)2+6=3
Rozwiązujemy równanie:
9a+6=39a=−3a=−31
Zatem wzór funkcji f w postaci kanonicznej to:
f(x)=−31(x−3)2+6
A.x=3
B.x=−3
C.y=6
D.y=−6
A. x=3
Oś symetrii paraboli to prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek. Wierzchołek ma współrzędne (3,6), więc osią symetrii jest prosta:
x=3
x1+x2=6
Miejsca zerowe funkcji g to argumenty, dla których g(x)=0, czyli f(x)=3:
g(x)=0⟺f(x)=3
Z treści zadania wiemy, że f(0)=3 (parabola przecina oś Oy w punkcie (0,3)), więc x=0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji g. Drugie miejsce zerowe jest symetryczne do x=0 względem osi symetrii x=3:
x2=2⋅3−0=6
Zatem x1=0, x2=6, a ich suma:
x1+x2=0+6=6
B.0
C.3
D.4
C. m=3
Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją stałą, czyli gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zero:
3−m=0⟹m=3
A.4
B.5
C.7
D.11
D. 11
Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, korzystając ze wzoru rekurencyjnego:
a1=2,a2=2⋅2+1=5,a3=2⋅5+1=11
FF
Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu:
a1=2,a2=5,a3=11
Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów:
a2−a1=3,a3−a2=6
Różnice nie są równe, więc ciąg NIE jest arytmetyczny (F).
Sprawdzamy ilorazy kolejnych wyrazów:
a1a2=25,a2a3=511
Ilorazy nie są równe, więc ciąg NIE jest geometryczny (F).
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Czwarty wyraz obliczamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
a4=a1⋅q3=27⋅(31)3=27⋅271=1
A.21
B.22
C.23
D.33
C. 23
Zapisujemy tgα jako cosαsinα i podstawiamy do równania:
3⋅cosαsinα=2sinα
Kąt α jest ostry, więc sinα=0 – możemy podzielić obie strony przez sinα, a następnie wyznaczyć cosα:
cosα3=2⟹cosα=23
A.32
B.43
C.54
D.34
D. 34
Odcinek CD jest środkową poprowadzoną z wierzchołka C, więc punkt D jest środkiem boku AB, skąd AD=DB=3.
Kąt przy wierzchołku A w trójkącie ABC jest prosty (bo BC jest przeciwprostokątną), więc kąt przy A jest prosty również w trójkącie ACD. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość AC:
AC=CD2−AD2=52−32=16=4
Tangens kąta α (przy wierzchołku D w trójkącie ACD) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie:
tgα=ADAC=34
A.132
B.133
C.2135
D.54
A. 132
Podobnie jak poprzednio, D jest środkiem boku AB (bo CD to środkowa z wierzchołka C), więc AD=3. Kąt przy wierzchołku A jest prosty, więc z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD wyznaczamy AC:
AC=CD2−AD2=52−32=4
Obliczamy długość przeciwprostokątnej BC z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:
BC=AB2+AC2=62+42=52=213
Sinus kąta β (przy wierzchołku B) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta (AC) do przeciwprostokątnej:
sinβ=BCAC=2134=132
A.20°
B.35°
C.40°
D.50°
C. 40°
Kąt środkowy AOB jest oparty na tym samym łuku AB co kąt wpisany BCA, więc jest od niego dwa razy większy:
∠AOB=2⋅50°=100°
Trójkąt AOB jest równoramienny, bo OA=OB jako promienie okręgu, więc kąty przy podstawie AB są równe. Korzystamy z sumy kątów w trójkącie:
∠ABO=2180°−100°=40°
A.2
B.2,25
C.2,5
D.3
B. 2,25
Trójkąty ABC i BDA są podobne, z odpowiedniością wierzchołków A↔B, B↔D, C↔A (wynika ona z kolejności liter w nazwach trójkątów), więc odpowiednie boki są proporcjonalne:
BDAB=DABC=ABCA
Korzystamy z proporcji łączącej boki AB, BD oraz CA, AB, podstawiając długości boków trójkąta ABC:
BDAB=ABCA⟹BD3=34
Wyznaczamy BD:
BD=43⋅3=49=2,25
FP
Obliczamy długość boku AC z twierdzenia cosinusów:
Stąd AC=133≈11,5. Żadne dwa boki trójkąta nie są sobie równe (11, 12, 133), więc trójkąt ABC nie jest równoramienny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Obliczamy pole trójkąta ze wzoru P=21⋅AB⋅BC⋅sin∠ABC:
P=21⋅11⋅12⋅sin60°=66⋅23=333
Pole rzeczywiście jest równe 333, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.
A.5
B.7
C.10
D.14
C. 10
Punkt S to środek przekątnej AC (przecięcie przekątnych kwadratu), więc odległość ∣AS∣ to połowa długości przekątnej. Obliczamy tę odległość:
∣AS∣=(4−1)2+(−1−3)2=9+16=25=5
Przekątna kwadratu jest dwa razy dłuższa od ∣AS∣:
∣AC∣=2⋅5=10
A.(−4)
B.(−2)
C.2
D.5
B. (−2)
Proste są równoległe wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
m−2=−4
Rozwiązujemy równanie:
m=−4+2=−2
A.(x−2)2+(y−4)2=25
B.(x−2)2+(y−4)2=20
C.(x+2)2+(y+4)2=25
D.(x+2)2+(y+4)2=20
B. (x−2)2+(y−4)2=20
Promień okręgu jest równy odległości między środkiem S a punktem P leżącym na okręgu. Obliczamy kwadrat promienia:
r2=(0−2)2+(0−4)2=4+16=20
Podstawiamy środek S=(2,4) i wyznaczony promień do równania okręgu:
(x−2)2+(y−4)2=20
C.33
D.32
A. 93
Bok sześcianu a spełnia a3=729, czyli a=9 (bo 93=729).
Długość przekątnej sześcianu o boku a wynosi a3:
d=93
A. 45
Liczba trzycyfrowa nieparzysta ma cyfrę jedności nieparzystą (ze zbioru {1,3,5,7,9}), więc na pewno różną od 0. Cyfra setek też nie może być 0, bo wtedy liczba miałaby mniej niż trzy cyfry. Zatem jedynym miejscem, gdzie może wystąpić cyfra 0, jest cyfra dziesiątek.
Ponieważ szukamy liczb z dokładnie jednym zerem, cyfra dziesiątek musi być równa 0.
Cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów (od 1 do 9), cyfrę dziesiątek na 1 sposób (musi być 0), a cyfrę jedności na 5 sposobów (liczby nieparzyste). Z reguły mnożenia:
9⋅1⋅5=45
C.3611
D.362
D. 362
Zdarzeń elementarnych (par wyników dwóch rzutów) jest 6⋅6=36, wszystkie jednakowo prawdopodobne.
Suma oczek równa 11 zachodzi tylko dla par (5,6) oraz (6,5) — są to 2 zdarzenia sprzyjające.
Obliczamy prawdopodobieństwo:
P(A)=362
C.6
D.7
C. 6
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi 3, więc ich suma jest równa:
1+2+3+4+5+x+y=7⋅3=21
Obliczamy sumę pierwszych pięciu liczb i wyznaczamy x+y:
Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie 24 oceny w kolejności niemalejącej i szukamy średniej z 12-tej i 13-tej wartości. Licząc kolejno pozycje: oceny 1–2 zajmują miejsca 1–4, ocena 3 miejsca 5–8, ocena 4 miejsca 9–12, ocena 5 miejsca 13–17.
Zatem 12-tą wartością jest ocena 4, a 13-tą ocena 5. Mediana jest równa:
24+5=4,5
Dominantą (modą) jest ocena występująca najczęściej — jest to ocena 6, którą otrzymało najwięcej uczniów, czyli 7.
P(x)=−2x2+22x+88, D=(0,11), x=211
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.