Matura podstawowa maj 2025, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

(32 - 2)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

\frac{5 ^{12} + 5 ^{13} + 5 ^{14}}{5 ^{12}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

31

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

(3 x + 2)^{2} - (2 x - 3)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

C.

5 x^{2} + 24 x - 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej

n

liczba

3 n^{2} + 2 n + 7

jest podzielna przez

4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

3 n^{2} + 2 n + 7 = 4 (3 l^{2} + 4 l + 3)

, gdzie

n = 2 l + 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dana jest nierówność

3 - 2 (1 - 2 x) \geq 2 x - 17

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A.

B.

C.

D.

Poprawna odpowiedź

D.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Równanie

2 x (x + 3) (x^{2} + 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

A.

(- 3)

oraz

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(- 2)

oraz różnej od

0

wartość wyrażenia

\frac{x ^{2} + x}{x ^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x}

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{x + 1}{x + 2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

2 pkt

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę

1200000

złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie

146700

złotych – zespół A wykorzystał

13%

przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał

11%

przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

735000

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 (2 x^{2} + 1) < 11 x

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 5 3 - 3 x + 9 dla x \in [- 4, - 2] dla x \in (- 2, 2] dla x \in (2, 4)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania

f (x) = 3

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

[- 4, 4)

; 2.

(- 3, 3]

; 3.

[- 4, 3)

; 4.

[- 2, 2]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} + 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

A.

x = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.3

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x) - 3

. Liczby

x_{1}

oraz

x_{2}

są różnymi miejscami zerowymi funkcji

g

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma

x_{1} + x_{2}

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x_{1} + x_{2} = 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (3 - m) x - 4

.

Funkcja

f

nie ma miejsca zerowego dla

m

równego

Poprawna odpowiedź

C.

m = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.1

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

11

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.2

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

3 pkt

Wyznacz wartość

m

, dla której trzywyrazowy ciąg

(2 m + 11, m^{2} + 3, 5 - m)

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m = \frac{5}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, w którym

a_{1} = 27

oraz

a_{2} = 9

.

Czwarty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

3 t g α = 2 sin α

.

Cosinus kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18.1

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, przyprostokątna

A B

ma długość

6

, a środkowa

C D

ma długość

5

.
Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18.2

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, przyprostokątna

A B

ma długość

6

, a środkowa

C D

ma długość

5

.
Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

β

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{2}{13}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

A

,

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Miara kąta

B C A

jest równa

50°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

A B O

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

40°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

W trójkącie równoramiennym

A B C

dane są:

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 4

i

∣ A B ∣ = 3

.
Na boku

B C

, między punktami

B

i

C

, wybrano taki punkt

D

, że trójkąty

A B C

i

B D A

są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek

B D

ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

2, 25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 11

,

∣ B C ∣ = 12

oraz

∣∠ A B C ∣ = 60°

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt $A B C$ jest równoramienny.	P	F
Pole trójkąta $A B C$ jest równe $333$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest kwadrat

A B C D

, w którym

A = (4, - 1)

. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie

S = (1, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna kwadratu

A B C D

ma długość

Poprawna odpowiedź

C.

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m - 2) x + 5

l : y = - 4 x + (m + 3)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

(- 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

P = (0, 0)

leży na okręgu

O

o środku w punkcie

S = (2, 4)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

jest określony równaniem

Poprawna odpowiedź

B.

(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

3 pkt

Tworząca stożka ma długość

8

. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę

120°

.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 64 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Objętość sześcianu jest równa

729

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

93

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra

0

, jest

Poprawna odpowiedź

A.

45

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie

A

polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa

11

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{2}{36}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

1, 2, 3, 4, 5, x, y

, jest równa

3

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma

x + y

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej

24

uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ___.
2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1. Mediana

= 4, 5

; 2. Dominanta

= 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

4 pkt

Rozważamy wszystkie prostopadłościany

A B C D E F G H

, w których krawędź

B C

ma długość

4

oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka

B

jest równa

15

(zobacz rysunek).

Niech

P (x)

oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości

x

krawędzi

A B

.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji

P

. Oblicz długość

x

krawędzi

A B

tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (x) = - 2 x^{2} + 22 x + 88

,

D = (0, 11)

,

x = \frac{11}{2}

Rozwiązanie krok po kroku