Matura podstawowa maj 2019 (F. 2005), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

lo g_{2} 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Liczba naturalna

n = 2^{14} \cdot 5^{15}

w zapisie dziesiętnym ma

Poprawna odpowiedź

B.

15

cyfr

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa

4%

. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o

1

punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

Poprawna odpowiedź

B.

25%

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Równość

\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{a} = 1

jest prawdziwa dla

Poprawna odpowiedź

D.

a = \frac{20}{11}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Para liczb

x = 2

i

y = 2

jest rozwiązaniem układu równań

{a x + y = 4 - 2 x + 3 y = 2 a

dla

Poprawna odpowiedź

B.

a = 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Równanie

\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 3} = 0

Poprawna odpowiedź

C. ma dwa różne rozwiązania:

x = 1

,

x = - 2

.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = 3 (x + 1) - 63

jest liczba

Poprawna odpowiedź

C.

23 - 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Informacja do zadań 8.–10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, - 4)

. Liczby

0

i

4

to miejsca zerowe funkcji

f

.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

⟨ - 4, + \infty)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

1 pkt

Informacja do zadań 8.–10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, - 4)

. Liczby

0

i

4

to miejsca zerowe funkcji

f

.

Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ 1, 4 ⟩

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

1 pkt

Informacja do zadań 8.–10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, - 4)

. Liczby

0

i

4

to miejsca zerowe funkcji

f

.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

D.

x = 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla

n \geq 1

, dane są dwa wyrazy:

a_{1} = 7

i

a_{8} = - 49

. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

- 168

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla

n \geq 1

. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek

\frac{a _{5}}{a _{3}} = \frac{1}{9}

. Iloraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{1}{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Sinus kąta ostrego

α

jest równy

\frac{4}{5}

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

D.

cos α = \frac{3}{5}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

1 pkt

Punkty

D

i

E

leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym

A B C

(zobacz rysunek). Odcinek

C D

jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany

D E B

ma miarę

α

.
Zatem

Poprawna odpowiedź

A.

α = 30°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

1 pkt

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie

O

i promieniu

5

oraz okrąg o środku w punkcie

P

i promieniu

3

. Odcinek

O P

ma długość

16

. Prosta

A B

jest styczna do tych okręgów w punktach

A

i

B

. Ponadto prosta

A B

przecina odcinek

O P

w punkcie

K

(zobacz rysunek).
Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

∣ O K ∣ = 10

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Dany jest romb o boku długości

4

i kącie rozwartym

15 0^{\circ}

. Pole tego rombu jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

8

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

1 pkt

Proste o równaniach

y = (2 m + 2) x - 2019

oraz

y = (3 m - 3) x + 2019

są równoległe, gdy

Poprawna odpowiedź

D.

m = 5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

1 pkt

Prosta o równaniu

y = a x + b

jest prostopadła do prostej o równaniu

y = - 4 x + 1

i przechodzi przez punkt

P = (\frac{1}{2}, 0)

, gdy

Poprawna odpowiedź

B.

a = \frac{1}{4}

i

b = - \frac{1}{8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej

f

. Na wykresie tej funkcji leżą punkty

A = (0, 4)

i

B = (2, 2)

.
Obrazem prostej

A B

w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji

g

określonej wzorem

Poprawna odpowiedź

C.

g (x) = - x - 4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Dane są punkty o współrzędnych

A = (- 2, 5)

oraz

B = (4, - 1)

. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku

A B

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

62

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

Promień

A S

podstawy walca jest równy połowie wysokości

O S

tego walca. Sinus kąta

O A S

(zobacz rysunek) jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{2 5}{5}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

Miara kąta

S A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

45°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

Mediana zestawu sześciu danych liczb:

4, 8, 21, a, 16, 25

, jest równa

14

. Zatem

Poprawna odpowiedź

B.

a = 12

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

1 pkt

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry

0, 2, 5

, jest

Poprawna odpowiedź

C.

162

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

W pudełku jest

40

kul. Wśród nich jest

35

kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{1}{8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45 = 0

.

Poprawna odpowiedź

x = - 3

lub

x = 3

lub

x = 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 16 x + 16 > 0

.

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, \frac{4}{3}) \cup (4, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

2 pkt

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

i

b

prawdziwa jest nierówność

3 a^{2} - 2 ab + 3 b^{2} \geq 0

.

Poprawna odpowiedź

3 a^{2} - 2 ab + 3 b^{2} = 2 a^{2} + (a - b)^{2} + 2 b^{2} \geq 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

2 pkt

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

r

. Na przedłużeniu cięciwy

A B

poza punkt

B

odłożono odcinek

B C

równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty

C

i

S

poprowadzono prostą. Prosta

C S

przecina dany okrąg w punktach

D

i

E

(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta

A C S

jest równa

α

, to miara kąta

A S D

jest równa

3 α

.

Poprawna odpowiedź

∠ A S D = 3 α

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

2 pkt

Ze zbioru liczb

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{9}{25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

2 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

dłuższa podstawa

A B

ma długość

8

. Przekątna

A C

tego trapezu ma długość

4

i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej

B D

tego trapezu.

Poprawna odpowiedź

217

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32

4 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Różnicą tego ciągu jest liczba

r = - 4

, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}

, jest równa

16

.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę

k

, dla której

a_{k} = - 78

.

Poprawna odpowiedź

a_{1} = 26, k = 27

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33

4 pkt

Dany jest punkt

A = (- 18, 10)

. Prosta o równaniu

y = 3 x

jest symetralną odcinka

A B

. Wyznacz współrzędne punktu

B

.

Poprawna odpowiedź

B = (\frac{102}{5}, - \frac{14}{5})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 34

5 pkt

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

6

. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt

α

jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta

α

.

Poprawna odpowiedź

cos α = \frac{5}{5}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie