Matura podstawowa sierpień 2021, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

9^{- 10} \cdot 3^{19}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

3^{- 1}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

lo g_{6} 9 + 2 lo g_{6} 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

x

stanowi

80%

liczby dodatniej

y

. Wynika stąd, że liczba

y

to

Poprawna odpowiedź

A.

125%

liczby

x

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

wyrażenie

(3 x + 8 y)^{2}

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

9 x^{2} + 48 x y + 64 y^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Liczba

(- 2)

jest rozwiązaniem równania

Poprawna odpowiedź

D.

x^{2} (x + 2) + 2 (x + 2) = 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

5 - \frac{2 - 6 x}{4} \geq 2 x + 1

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

(- \infty, 7 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 2 x + 4

. Wykres funkcji

f

przesunięto wzdłuż osi

O x

o

2

jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji

g

. Funkcja

g

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

B.

g (x) = - 2 x

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + 4

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

(- 1)

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

a = 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Prosta

k

przechodzi przez punkt

A = (2, - 3)

i jest nachylona do osi

O x

pod kątem

45°

(zobacz rysunek). Prosta

k

ma równanie

Poprawna odpowiedź

A.

y = x - 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - 2 (x + 3) (x - 5)

. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, ma współrzędną

x

równą

Poprawna odpowiedź

C.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = - x^{2} + 4

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

D.

(- \infty, 4 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

.Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji

f

.

Poprawna odpowiedź

D.

f (x) = - x^{2} + 6 x - 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Różnica tego ciągu jest równa

2

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

a_{24} - a_{6} = 36

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od

1001

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{2 + 1000}{2} \cdot 500

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(2, x, 18)

jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

x = 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α = \frac{7}{25}

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

B.

cos α = \frac{24}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Czworokąt

A B C D

jest wpisany w okrąg o środku

S

. Bok

A D

jest średnicą tego okręgu, a miara kąta

B D C

jest równa

20°

(zobacz rysunek).

Wtedy miara kąta

B S C

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

40°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Okrąg o środku w punkcie

O

jest wpisany w trójkąt

A B C

. Wiadomo, że

∣ A B ∣ = ∣ A C ∣

i

∣ ∢ B O C ∣ = 100°

(zobacz rysunek).

Miara kąta

B A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

20°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

i

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Cięciwy

D B

i

A C

przecinają się w punkcie

E

,

∣ ∢ A C B ∣ = 55°

oraz

∣ ∢ A E B ∣ = 140°

(zobacz rysunek).

Miara kąta

D A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

85°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Przekątna

A C

prostokąta

A B C D

ma długość

70

. Na boku

A B

obrano punkt

E

, na przekątnej

A C

obrano punkt

F

, a na boku

A D

obrano punkt

G

- tak, że czworokąt

A E F G

jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto

∣ E F ∣ = 30

i

∣ GF ∣ = 40

.

Obwód prostokąta

A B C D

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

196

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

W układzie współrzędnych dane są dwa punkty

A = (1, - 2)

oraz

B = (3, 1)

. Współczynnik kierunkowy prostej

A B

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Prosta

k

ma równanie

y = - \frac{4}{7} x + 24

. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej

k

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{7}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Punkty

A = (3, 7)

i

C = (- 4, 6)

są końcami przekątnej kwadratu

A B C D

. Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{5 2}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

2

(zobacz rysunek).Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

24 + 123

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Przekątna sześcianu jest równa

6

. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

243

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest

Poprawna odpowiedź

B.

9 \cdot 5 \cdot 1 0^{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

W pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy

3 : 4

. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech

A

oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia

A

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{3}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Średnia arytmetyczna pięciu liczb:

5 x + 6

,

6 x + 7

,

7 x + 8

,

8 x + 9

,

9 x + 10

, jest równa

8

. Wtedy

x

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Rozwiąż nierówność:

x^{2} - 5 \geq 4 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 5, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rozwiąż równanie:

\frac{x + 8}{x - 7} = 2 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{1}{2}

lub

x = 8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

spełniona jest nierówność

b (5 b - 4 a) + a^{2} \geq 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

b (5 b - 4 a) + a^{2} = b^{2} + (2 b - a)^{2} \geq 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

W trójkącie

A B C

kąt przy wierzchołku

A

jest prosty, a kąt przy wierzchołku

B

ma miarę

30°

. Na boku

A B

tego trójkąta obrano punkt

D

tak, że miara kąta

C D A

jest równa

60°

oraz

∣ A D ∣ = 6

(zobacz rysunek). Oblicz

∣ B D ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B D ∣ = 12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

. Przekątne

A C

i

B D

tego trapezu przecinają się w punkcie

S

(zobacz rysunek) tak, że

\frac{∣ A S ∣}{∣ S C ∣} = \frac{3}{2}

. Pole trójkąta

A B S

jest równe

12

. Oblicz pole trójkąta

C D S

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{C D S} = \frac{16}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu oczek. Niech

A

oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach jest równy

12

. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{1}{9}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

5 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{5 - 3 n}{7}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Trójwyrazowy ciąg

(a_{4}, x^{2} + 2, a_{11})

, gdzie

x

jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz

x

oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 0

,

q = - 2

Rozwiązanie krok po kroku