Matura podstawowa sierpień 2024, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności

∣ x + 1∣ < 3

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

(\frac{4}{25})^{- 0, 5}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

(2 n + 5)^{2} + 3

jest podzielna przez

4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(2 n + 5)^{2} + 3 = 4 (n^{2} + 5 n + 7)

, gdzie

n^{2} + 5 n + 7

jest liczbą naturalną

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

2 pkt

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są równości: ............... oraz ............... .

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

CE

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{3 ( 6 - x )}{17} \leq 3

jest przedział

Poprawna odpowiedź

D.

[- 11, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\frac{x ( x + 5 ) ( 2 - x )}{2 x + 4} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

C. trzy rozwiązania:

(- 5)

,

0

oraz

2

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 10 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 5

,

x = - 2

,

x = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Poprawna odpowiedź

B.

{y = - x + 2 y = 2 x - 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

2 pkt

Funkcja

y = f (x)

jest określona za pomocą tabeli

$x$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$6$
$y$	$- 3$	$- 4$	$4$	$1$	$5$	$0$	$2$

Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

9.1. Największa wartość funkcji $f$ jest równa	___
9.2. Miejsce zerowe funkcji $f$ jest równe	___

A.

1

B.

2

C.

4

D.

5

E.

6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

9.1. D.

5

; 9.2. C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3}{3} x - 3

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

y = f (x)

jest prostą nachyloną do osi

O x

pod kątem ostrym

α

.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Sinus kąta

α

jest równy ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.1

1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności

10

litrów ma masę

6, 5

kg. Jeden litr mleka ma masę

1, 03

kg.

Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

f (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in [0, 10]

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ jest malejąca.	P	F
Funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.2

1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności

10

litrów ma masę

6, 5

kg. Jeden litr mleka ma masę

1, 03

kg.

Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

f (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in [0, 10]

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa wartość funkcji

f

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

16, 8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.3

1 pkt

Pusta bańka na mleko o pojemności

10

litrów ma masę

6, 5

kg. Jeden litr mleka ma masę

1, 03

kg.

Niech

x

oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a

f (x)

oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie

x \in [0, 10]

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

D.

f (x) = 1, 03 x + 6, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

D.

[- 2, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

A.

x = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.3

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

C.

f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Suma

n

początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem

S_{n} = n^{2} + 2 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, w którym

a_{2} = 2

oraz

a_{5} = 54

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(2 m - 5, 4, 9)

jest arytmetyczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

A. rosnący	oraz	1. $m = - 1$
		2. $m = 2$
B. malejący		3. $m = 3$

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Poprawna odpowiedź

A2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{24}{25}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{7}{24}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

W trójkącie prostokątnym

A B C

sinus kąta

C A B

jest równy

\frac{3}{5}

, a przeciwprostokątna

A B

jest o

8

dłuższa od przyprostokątnej

B C

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przeciwprostokątnej

A B

tego trójkąta jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 5

,

∣ A C ∣ = 2

oraz

cos ∣∠ B A C ∣ = \frac{3}{5}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku

B C

tego trójkąta jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

17

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

K

,

L

oraz

M

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

. Miara kąta

K S M

jest równa

160°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego

K L M

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

100°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

2 pkt

Podstawy trapezu prostokątnego

A B C D

mają długości:

∣ A B ∣ = 12

oraz

∣ C D ∣ = 6

. Wysokość

A D

tego trapezu ma długość

24

. Na odcinku

A D

leży punkt

E

taki, że

∣∠ B E A ∣ = ∣∠ C E D ∣

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka

BE

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B E ∣ = 20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S = (9, 11)

. Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x - 1

, a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 2 x - 4

.

Oblicz współrzędne wierzchołka

B

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

B = (6, 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (3 m - 2) x - 2

l : y = (2 m + 4) x + 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

odcinek o końcach

A = (- 4, 7)

oraz

B = (6, - 1)

jest średnicą okręgu

O

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

jest określony równaniem

Poprawna odpowiedź

A.

(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 41

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa

12

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość

10

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

376

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Dany jest prostopadłościan

A B C D E F G H

, w którym podstawy

A B C D

i

E F G H

są kwadratami o boku długości

6

. Przekątna

B H

tego prostopadłościanu tworzy z przekątną

A H

ściany bocznej

A D H E

kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przekątna

B H

tego prostopadłościanu ma długość równą

Poprawna odpowiedź

C.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o

3

większa od cyfry jedności, jest

Poprawna odpowiedź

C.

7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez

32

uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.

Liczba punktów	0	1	2	3	4	5
Liczba uczniów	2	2	5	6	11	6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

3, 25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Dane są dwa zbiory:

C = {0, 4, 5, 7, 9}

oraz

D = {1, 2, 3}

.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru

C

, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru

D

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od

9

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{4}{15}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

3 pkt

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych

x

oraz

y

jest równa

12

.

Wyznacz

x

oraz

y

, dla których wartość wyrażenia

2 x^{2} + y^{2}

jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 4

,

y = 8

, najmniejsza wartość wyrażenia jest równa

96

Rozwiązanie krok po kroku