Matura rozszerzona czerwiec 2021

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Wartość wyrażenia

((3 - 1)^{2} - (3 + 1)^{2})^{3}

jest równa

Poprawna odpowiedź

- 1923

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Granice

n \to \infty lim \frac{a n ^{2} + bn + 4}{n + 1}

n \to \infty lim \frac{n + 1}{a n ^{2} + bn + 4}

są równe. Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

a = 0

∣ b ∣ = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Wektory

a = [m - 2, m + 2]

oraz

b = [m^{1, 5}, 2^{1, 5}]

mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Poprawna odpowiedź

m = 0

lub

m = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji

f

określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji

f

Poprawna odpowiedź

f (x) = 2 π \cdot sin (\frac{x}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Wynikiem dzielenia wielomianu

5 x^{3} - 7 x^{2} - 4 x - 4

przez dwumian

x - 2

jest trójmian kwadratowy postaci

a x^{2} + b x + c

.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – wartości współczynników

a

b

oraz

c

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 5, b = 3, c = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Niech

lo g_{2} 9 = c

. Wykaż, że

lo g_{3} 54 = \frac{3 c + 2}{c}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Równość

lo g_{3} 54 = \frac{3 c + 2}{c}

jest wykazana (dowód powyżej).

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

. Na boku

A B

tego trójkąta obrano punkty

D

E

F

tak, że

∣ A D ∣ = ∣ D E ∣ = ∣ E F ∣ = 2∣ F B ∣

. Na bokach

A C

B C

obrano – odpowiednio – punkty

G

H

tak, że

D G ∥ E C

oraz

F H ∥ E C

(zobacz rysunek).Wykaż, że jeżeli pole trójkąta

F B H

jest równe

S

, to pole trójkąta

A D G

jest równe

3 S

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Pole trójkąta

A D G

jest równe

3 S

(dowód powyżej).

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

4 pkt

Rozwiąż równanie

2 cos^{2} x - cos x = sin 2 x - sin x

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π}{4}

lub

x = \frac{π}{3}

lub

x = \frac{5 π}{4}

lub

x = \frac{5 π}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Dane są prosta

k

o równaniu

x - 2 y = 0

i prosta

l

o równaniu

2 x + y - 1 = 0

. Punkt

P

leży na prostej o równaniu

y = x + 4

. Odległość punktu

P

od prostej

k

jest dwa razy większa niż odległość punktu

P

od prostej

l

. Oblicz współrzędne punktu

P

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = (- 2, 2)

lub

P = (\frac{2}{5}, \frac{22}{5})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

2

. Punkt

S

jest środkiem krawędzi

D H

(zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta

C F S

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

45°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe

\frac{1}{15}

. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

n = 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 3) (x^{2} + (m - 1) x - 6 m^{2} + 2 m) = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m = - \frac{2}{3}

lub

m = \frac{1}{5}

lub

m = \frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

5 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} + k}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 0

.

Oblicz wartość

k

, dla której prosta o równaniu

y = - x

jest styczna do wykresu funkcji

f

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

k = - \frac{4}{27}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

5 pkt

Na okręgu jest opisany czworokąt

A B C D

. Bok

A D

tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku

A B

, a przekątna

B D

ma długość równą

6

. Ponadto spełnione są następujące warunki:

cos (∠ A D B) = \frac{7}{8}, ∣∠ B C D ∣ = 90°

oraz

∣ A B ∣ > 15

.

Oblicz długość boku

B C

tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B C ∣ = - 2 + 14

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

o przeciwprostokątnej

A B

i obwodzie równym

4

. Niech

x = ∣ A C ∣

.

a) Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

jako funkcja zmiennej

x

jest określone wzorem

P (x) = \frac{x ( 4 - 2 x )}{4 - x}

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (x) = \frac{x ( 4 - 2 x )}{4 - x}

(wzór wykazany); b)

x \in (0, 2)

; c) boki:

4 - 22

4 - 22

42 - 4

; największe pole:

P = 4 (3 - 22)

Rozwiązanie krok po kroku