Test z matematyki składa się z 40 zadań. Na diagramie przedstawiono procentowy podział liczby zadań w teście na zadania z pięciu działów: algebry, planimetrii, stereometrii, arytmetyki, statystyki.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba zadań z arytmetyki w tym teście jest równa
Poprawna odpowiedź
A. 14
Sumujemy procenty podane na diagramie dla pozostałych czterech działów:
Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu YXXY, gdzie X jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a Y jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4.
Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje x złotych, a rasowa kotka kosztuje y złotych. Janek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką 40% oraz rasową kotkę ze zniżką 20%.
Które wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11. Z tego pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami ___.
Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa ___.
Do 10 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze, łącznie 400 sztuk tych owoców. W każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek jest o 6 większa od liczby pomarańczy.
Ile sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąty wewnętrzne czworokąta oznaczono: α, β, γ oraz δ. Miara kąta β jest o 70° większa od miary kąta α, miara kąta γ jest dwukrotnie większa od miary kąta α. Kąt δ jest kątem prostym.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty M, W, S oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.
P
F
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.
Przekątna AD dzieli pięciokąt ABCDE na trójkąt ADE i na kwadrat ABCD (zobacz rysunek). Pole trójkąta ADE jest równe 28, a wysokość poprowadzona z wierzchołka E na bok AD jest równa 7.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Do wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek. Każda z tych kartek była w jednym z czterech kolorów: białym, niebieskim, zielonym lub czerwonym. Kartek białych było 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było o 10 mniej niż czerwonych.
Oblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
57 kartek niebieskich
Liczbę kartek czerwonych oznaczamy jako x. Wtedy kartek niebieskich jest 1,5x, a kartek zielonych jest x−10.
Z Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km. Droga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut. Drogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością, jak drogę z Polanki do Jodłowa.
Uzasadnij, że przejazd tego samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Prędkość samochodu to 72hkm, więc przejazd 75 km trwał dłużej niż godzinę
Podczas Dnia Sportu w pewnej szkole rozegrano trzy turnieje sportowe. Każde dziecko, które było uczestnikiem tego Dnia Sportu, wzięło udział w dokładnie jednym turnieju sportowym. W tabeli podano informacje dotyczące liczby dzieci biorących udział w poszczególnych turniejach. Łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców uczestniczących w tym Dniu Sportu.
Turniej piłki nożnej
Turniej tańca
Turniej tenisa stołowego
Liczba dziewcząt
15
65
?
Liczba chłopców
46
16
34
Oblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a. Punkt S jest środkiem krawędzi DH tego sześcianu. Punkty A, C, D, S są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek).
Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa ACDS jest mniejsza od objętości sześcianu ABCDEFGH. Zapisz obliczenia.
Ogródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m, a wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić swój ogródek w łąkę kwietną. Jedno opakowanie z nasionami wybrane przez panią Annę wystarcza na obsianie 25 m2 powierzchni i kosztuje 23,80 zł.
Oblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań z nasionami potrzebnych na obsianie całej powierzchni tego ogródka. Zapisz obliczenia.
Z kartonu wycięto prostokąt ABCD o wymiarach 3 i 9 (zobacz rysunek 1.). Następnie ten prostokąt rozcięto na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny. Z tych figur złożono równoległobok KLMN, który nie jest prostokątem (zobacz rysunek 2.).
Rozkładamy liczby 18 i 27 na czynniki pierwsze i wyznaczamy największy wspólny dzielnik:
18=2⋅32,27=33⟹X=NWD(18,27)=9
Wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 2 i 4:
Y=NWW(2,4)=4
Podstawiamy X=9 i Y=4 do kodu YXXY:
YXXY=4994
A.w
B.x
C.y
D.z
C. y
Obliczamy w:
w=100−64−2=36−2=6−2=4
Obliczamy x:
x=12−64+36=12−100=12−10=2
Obliczamy y:
y=25−16−3=9−3=3−3=0
Obliczamy z:
z=7−9+16=7−25=7−5=2
Jedyną z tych liczb równą 0 jest y.
B.48⋅95
C.215⋅34
D.415⋅94
A. 28⋅35
Grupujemy czynniki o podstawie 2 i dodajemy wykładniki:
25⋅23=25+3=28
Grupujemy czynniki o podstawie 3 (pamiętając, że 3=31) i dodajemy wykładniki:
31⋅34=31+4=35
Łącząc oba wyniki, otrzymujemy wyrażenie równe wartości 28⋅35.
C.0,8x+0,6y
D.0,6x+0,8y
D. 0,6x+0,8y
Zniżka 40% na kocura oznacza, że Janek płaci 100%−40%=60% jego ceny:
0,6x
Zniżka 20% na kotkę oznacza, że Janek płaci 100%−20%=80% jej ceny:
0,8y
Łączna kwota zapłacona przez Janka to suma obu cen po zniżce, czyli 0,6x+0,8y.
A, C
Suma dwóch liczb naturalnych jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość (obie parzyste albo obie nieparzyste). Skoro suma liczb na DOWOLNYCH dwóch kulach pozostałych w pudełku jest parzysta, to wszystkie pozostałe kule muszą mieć tę samą parzystość.
Wśród liczb od 1 do 11 jest sześć liczb nieparzystych (1,3,5,7,9,11) i tylko pięć liczb parzystych (2,4,6,8,10). W pudełku po losowaniu zostało sześć kul, a parzystych liczb jest zbyt mało (tylko pięć), więc te sześć kul nie może być parzystych. Zatem w pudełku zostały wyłącznie liczby nieparzyste (odpowiedź A).
Skoro w pudełku zostały wszystkie liczby nieparzyste, to wylosowanych zostało pięć pozostałych liczb, czyli wszystkie liczby parzyste od 1 do 11. Obliczamy ich sumę:
2+4+6+8+10=30
Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa 30 (odpowiedź C).
B. 230
Skoro w każdym z 10 koszy jest tyle samo owoców, a łącznie jest ich 400, to w jednym koszu jest:
T=10400=40
Niech p oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Wtedy liczba jabłek w tym koszu to p+6. Razem w jednym koszu jest 40 owoców, więc układamy równanie:
p+(p+6)=40
Rozwiązujemy równanie:
2p+6=402p=34p=17
Liczba jabłek w jednym koszu to p+6=17+6=23. Łącznie w 10 koszach jest:
23⋅10=230
A.5001
B.5050
C.S=21n2+1
D.S=21n2+21n
B, D
Podstawiamy n=100 do wzoru na sumę:
S=21⋅100⋅101=5050
To odpowiada literze B. Teraz przekształcamy wzór, mnożąc wyrażenie w nawiasie przez 21n:
S=21n(n+1)=21n2+21n
To odpowiada literze D. Prawidłowe odpowiedzi to B oraz D.
C.6
D.7
D. 7
Ze średniej arytmetycznej liczb x i y wyznaczamy ich sumę:
2x+y=4⟹x+y=8
Ze średniej arytmetycznej liczb x, y, z wyznaczamy sumę wszystkich trzech:
3x+y+z=5⟹x+y+z=15
Podstawiamy x+y=8 i obliczamy z:
z=15−(x+y)=15−8=7
PP
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a dana jest wzorem h=2a3. Podstawiamy a=2:
h=223=3
Zgadza się to z pierwszym zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).
Pole trójkąta równobocznego o boku a dane jest wzorem P=4a23. Podstawiamy a=2:
Zgadza się to z drugim zdaniem, więc jest ono prawdziwe (P).
A.50°
B.85°
C.120°
D.155°
C. 120°
Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°, więc:
α+β+γ+δ=360°
Podstawiamy zależności β=α+70°, γ=2α oraz δ=90° i rozwiązujemy równanie:
α+(α+70°)+2α+90°=360°4α+160°=360°α=50°
Obliczamy miarę kąta β:
β=α+70°=50°+70°=120°
PP
Wprowadzamy układ współrzędnych, w którym schronisko S leży w punkcie (0,0). Wieża widokowa jest 4 km na zachód i 3 km na północ od S, więc W=(−4,3). Muzeum jest 5 km na wschód od S, więc M=(5,0).
Odległość schroniska od muzeum (leżą na tej samej równoleżnikowej linii):
∣SM∣=5
Odległość schroniska od wieży widokowej liczymy z twierdzenia Pitagorasa:
∣SW∣=42+32=16+9=25=5
Obie odległości są równe 5 km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
Odległość muzeum od wieży widokowej liczymy z różnic współrzędnych:
∣MW∣=(5−(−4))2+(0−3)2=92+32=81+9=90≈9,49
To mniej niż 10 km, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).
A.16
B.32
C.49
D.64
D. 64
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta ADE, w którym podstawą jest odcinek AD, a wysokością odcinek poprowadzony z E:
28=21⋅AD⋅7
Wyznaczamy długość AD:
AD=72⋅28=8
Odcinek AD jest jednocześnie bokiem kwadratu ABCD, więc pole kwadratu jest równe:
AD2=82=64
A. 350
Trzy sześciany o krawędzi 5 ustawione jeden na drugim tworzą prostopadłościan o podstawie 5×5 i wysokości równej 3⋅5=15.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach a=5, b=5, c=15 obliczamy ze wzoru:
P=2(ab+ac+bc)=2(5⋅5+5⋅15+5⋅15)
Wykonujemy obliczenia:
P=2(25+75+75)=2⋅175=350
Układamy równanie na podstawie łącznej liczby kartek (160):
x+1,5x+(x−10)+37=160
Rozwiązujemy równanie:
3,5x=160−37+103,5x=133x=38
Obliczamy liczbę kartek niebieskich:
1,5⋅38=57
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.