Geometria analityczna

Długość odcinka
Długość odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$ jest równa:

Współrzędne środka odcinka
Współrzędne środka $S=(x_S,y_S)$ odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$ są równe:

Równanie kierunkowe prostej
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $Oy$, to można opisać ją równaniem kierunkowym:

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy prostej.

Prosta o równaniu $y=ax+b$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,b)$.

Równanie kierunkowe prostej o danym współczynniku kierunkowym $a$, która przechodzi przez punkt $P=(x_0,y_0)$:

Równanie kierunkowe prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$:

gdzie

Równanie ogólne prostej

Jeżeli $A=0$, to prosta jest równoległa do osi $Ox$; jeżeli $B=0$, to prosta jest równoległa do osi $Oy$; jeżeli $C=0$, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Równanie ogólne prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$:

Proste równoległe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y=a_{1}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ oraz $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

Proste prostopadłe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y=a_{1}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ oraz $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

Odległość punktu od prostej
Odległość $d$ punktu $P(x_0,y_0)$ od prostej o równaniu ogólnym $Ax+By+C=0$ jest równa:

Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ w postaci kanonicznej:

Równanie okręgu o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ w postaci ogólnej:

gdzie $c=a^2+b^2-r^2$.

Współrzędne wektora, długość wektora, działania na wektorach
Dane są punkty $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$. Współrzędne wektora $\overrightarrow{AB}$ zaczepionego w punkcie $A$:

Jeżeli $\vec{u}=[u_1,u_2]$ oraz $\vec{v}=[v_1,v_2]$ są wektorami oraz $a\in \mathbb{R}$, to:

Długością $|\vec{u}|$ wektora $\vec{u}=[u_1,u_2]$ nazywamy liczbę

Przekształcenia geometryczne

Przesunięcie o wektor $\vec{u}=[a,b]$ przekształca punkt $P=(x,y)$ na punkt $P^{\prime }=(x+a,y+b)$.

Symetria osiowa $S_{Ox}$ względem osi $Ox$ przekształca punkt $P=(x,y)$ na punkt $P^{\prime }=(x,-y)$.

Symetria osiowa $S_{Oy}$ względem osi $Oy$ przekształca punkt $P=(x,y)$ na punkt $P^{\prime }=(-x,y)$.

Symetria środkowa $S_K$ względem punktu $K=(a,b)$ przekształca punkt $P=(x,y)$ na punkt $P^{\prime }=(2a-x,2b-y)$.

W szczególności symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt $P=(x,y)$ na punkt $P^{\prime }=(-x,-y)$.

Pole trójkąta
Pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$ oraz $C=(x_C,y_C)$ jest równe:

Współrzędne środka ciężkości trójkąta
Współrzędne środka ciężkości $S=(x_S,y_S)$ trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$ oraz $C=(x_C,y_C)$, czyli punktu przecięcia jego środkowych: