Ciągi

Q: Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny?

W arytmetycznym stała jest różnica kolejnych wyrazów, w geometrycznym stały jest ich iloraz. Wystarczy policzyć różnicę i iloraz dla kilku par sąsiednich wyrazów i zobaczyć, która z tych wielkości się nie zmienia.

Q: Czy ciąg geometryczny może mieć wyraz równy zeru?

Nie. Iloraz ciągu geometrycznego jest różny od zera, a pierwszy wyraz też, więc żaden kolejny wyraz nie może się wyzerować.

Ciągi liczbowe, w szczególności arytmetyczny i geometryczny: wzór ogólny, suma początkowych wyrazów i zadania na monotoniczność. Wszystkie zadania z rozwiązaniami krok po kroku.

Ten dział to średnio 1,2 zadania i 4,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 4 Ciągi

1 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony w następujący sposób:

a_{1} = \frac{3}{5}

oraz

a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n}

dla

n ⩾ 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{9}{5}

1
Z zależności $a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n}$ odczytujemy iloraz ciągu: $q = \frac{2}{3}$ . Ponieważ $∣ q ∣ < 1$ , suma wszystkich wyrazów istnieje.
2
Liczymy sumę ze wzoru $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ .
$S = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{5}$
3
Poprawna jest odpowiedź D.

Lista zadań

Matura rozszerzona czerwiec 2017, zadanie 10Ciąg (aₙ) jest arytmetyczny, a ciąg (bₙ) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a₁ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu… Wyznacz te ciągi.

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzór ogólny ciągu i wyznaczanie kolejnych wyrazów
Ciąg arytmetyczny: różnica, wzór na $n$ -ty wyraz i suma
Ciąg geometryczny: iloraz, wzór na $n$ -ty wyraz i suma
Własność środkowego wyrazu w obu ciągach
Monotoniczność ciągu
Zadania z treścią o oszczędnościach, ratach i wzroście

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Ciągi

Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , o pierwszym wyrazie $a_{1}$ i różnicy $r$ :

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

Wzory na sumę $S_{n}$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n

Dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ prawdziwa jest równość:

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2} dla n \geq 2

Wzór na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , o pierwszym wyrazie $a_{1}$ i ilorazie $q$ :

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} dla n \geq 2

Wzory na sumę $S_{n}$ początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego:

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} dla q \neq = 1

S_{n} = n \cdot a_{1} dla q = 1

Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ prawdziwa jest równość:

(a_{n})^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} dla n \geq 2

Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ , określony dla $n \geq 1$ , o ilorazie $q$ . Niech $(S_{n})$ oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , to znaczy ciąg określony wzorem $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ dla $n \geq 1$ .

Jeżeli $∣ q ∣ < 1$ , to ciąg $(S_{n})$ ma granicę równą:

S = lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a _{1}}{1 - q}

Granicę tę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ .

Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ , określone dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , są zbieżne i $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ oraz $lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ , to ciągi $(a_{n} + b_{n})$ , $(a_{n} - b_{n})$ , $(a_{n} \cdot b_{n})$ są zbieżne, a ponadto:

lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b

lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b

lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b

Jeżeli ponadto $b_{n} \neq = 0$ dla $n \geq 1$ oraz $b \neq = 0$ , to ciąg $(\frac{a _{n}}{b _{n}})$ jest zbieżny i

lim_{n \to \infty} (\frac{a _{n}}{b _{n}}) = \frac{a}{b}

Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli wyrazy ciągów $(a_{n})$ , $(b_{n})$ i $(c_{n})$ , określonych dla $n \geq 1$ , spełniają nierówność $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ dla $n \geq 1$ , a ciągi $(a_{n})$ i $(c_{n})$ są zbieżne do wspólnej granicy $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n} = g$ , to ciąg $(b_{n})$ jest zbieżny, a ponadto $lim_{n \to \infty} b_{n} = g$ .

Procent składany. Jeżeli kapitał początkowy $K_{0}$ złożymy na okres $n$ lat na lokacie bankowej, której oprocentowanie wynosi $p %$ w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy $K_{n}$ jest określony wzorem:

K_{n} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}

Wybrane granice:

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

lim_{n \to \infty} n n = 1

lim_{n \to \infty} n a = 1 dla ka \overset{z}{˙} dego a > 0

lim_{n \to \infty} q^{n} = 0 dla ka \overset{z}{˙} dego q \in (- 1, 1)

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{k}} = 0 dla ka \overset{z}{˙} dego k > 0

lim_{n \to \infty} n^{k} = + \infty dla ka \overset{z}{˙} dego k > 0

Najczęstsze pytania

W arytmetycznym stała jest różnica kolejnych wyrazów, w geometrycznym stały jest ich iloraz. Wystarczy policzyć różnicę i iloraz dla kilku par sąsiednich wyrazów i zobaczyć, która z tych wielkości się nie zmienia.

Nie. Iloraz ciągu geometrycznego jest różny od zera, a pierwszy wyraz też, więc żaden kolejny wyraz nie może się wyzerować.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu ciągi.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Ciągi

Najczęstsze pytania