Zadanie 14 - Matura podstawowa 2021 (czerwiec) - Rozwiązanie

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek

a_{3} = a_{1} \cdot a_{2}

. Niech

q

oznacza iloraz ciągu

(a_{n})

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

a_{1} = q

Zapisujemy wyrazy ciągu geometrycznego za pomocą pierwszego wyrazu $a_{1}$ i ilorazu $q$ :
$a_{2} = a_{1} q, a_{3} = a_{1} q^{2}$
Podstawiamy do warunku $a_{3} = a_{1} \cdot a_{2}$ :
$a_{1} q^{2} = a_{1} \cdot a_{1} q$
Wyrazy ciągu są dodatnie, więc $a_{1} \neq = 0$ i $q \neq = 0$ - możemy podzielić obie strony przez $a_{1} q$ :
$a_{1} q^{2} = a_{1}^{2} q q = a_{1}$

Podobne zadania z działu ciągi