Ciąg (aₙ) jest określony następująco: a₁=5 aₙ₊₁=aₙ+2 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (aₙ) jest równa

Zadanie 15 - Matura podstawowa 2026 (marzec) - Rozwiązanie

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 5 a_{n + 1} = a_{n} + 2

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

10400

Policzmy kilka pierwszych wyrazów. Wzór $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ mówi, że każdy następny wyraz powstaje przez dodanie $2$ do poprzedniego:
$a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} = 5 = a_{1} + 2 = 5 + 2 = 7 = a_{2} + 2 = 7 + 2 = 9 = a_{3} + 2 = 9 + 2 = 11$
Można zauważyć, że za każdym razem dodajemy tę samą liczbę $2$ , więc różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała i wynosi $2$ . Dokładnie tak zachowuje się ciąg arytmetyczny, dlatego $(a_{n})$ jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $a_{1} = 5$ i różnicy $r = 2$ .
Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$S_{100} = \frac{100}{2} (2 a_{1} + 99 r) = 50 (10 + 198) = 50 \cdot 208 = 10400$