Określamy kwadraty K₁, K₂, K₃, …… - Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 10, rozwiązanie

Zadanie 10, matura rozszerzona maj 2023

4 pkt

Określamy kwadraty

K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

następująco:
•

K_{1}

jest kwadratem o boku długości

a

•

K_{2}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

•

K_{3}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{2}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n \geq 2

,
•

K_{n}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{n - 1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

L = \frac{8 ( 4 + 10 ) a}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia:
- $a_{n}$ - długość boku kwadratu $K_{n}$ , więc $a_{1} = a$
- $L_{n}$ - obwód kwadratu $K_{n}$
Wierzchołki kwadratu $K_{2}$ dzielą boki $K_{1}$ w stosunku $1 : 3$ , więc w każdym rogu $K_{1}$ powstaje trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna jest bokiem $K_{2}$ . Liczymy ją z twierdzenia Pitagorasa.
$a_{2} = (\frac{a}{4})^{2} + (\frac{3 a}{4})^{2} = \frac{a ^{2} + 9 a ^{2}}{16} = \frac{10}{4} a$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Zadanie 10, matura rozszerzona maj 2023

Podobne zadania z działu ciągi