Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (aₙ), określony dla liczb naturalnych n ≥ 1, o wyrazach dodatnich. Jeśli a₂ + a₉ = a₄ + aₖ, to k jest równe

Zadanie 9, matura podstawowa czerwiec 2019

1 pkt

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla liczb naturalnych

n \geq 1

, o wyrazach dodatnich. Jeśli

a_{2} + a_{9} = a_{4} + a_{k}

, to

k

jest równe

Poprawna odpowiedź

7

Wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $r$ ma postać $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ . Zapisujemy wszystkie cztery wyrazy przez $a_{1}$ i $r$ .
$a_{2} = a_{1} + r a_{9} = a_{1} + 8 r a_{4} = a_{1} + 3 r a_{k} = a_{1} + (k - 1) r$
Podstawiamy do równości $a_{2} + a_{9} = a_{4} + a_{k}$ i upraszczamy.
$a_{1} + r + a_{1} + 8 r = a_{1} + 3 r + a_{1} + (k - 1) r 2 a_{1} + 9 r = 2 a_{1} + (k + 2) r 9 r = (k + 2) r$
Ciąg jest rosnący, więc $r > 0$ . Możemy podzielić obie strony przez $r$ .
$9 = k + 2 k = 7$
Odpowiedź B.