Zadanie 32 - Matura podstawowa 2022 (czerwiec) - Rozwiązanie

2 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(x, 3 x + 2, 9 x + 16)

jest geometryczny. Oblicz

x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 1

Aby zastosować definicję ciągu geometrycznego, pierwszy i drugi wyraz ciągu muszą być różne od zera:
- dla $x = 0$ ciąg to $(0, 2, 16)$ - nie jest geometryczny, więc $x \neq = 0$
- dla $x = - \frac{2}{3}$ ciąg to $(- \frac{2}{3}, 0, 10)$ - nie jest geometryczny, więc $x \neq = - \frac{2}{3}$
Korzystamy z własności ciągu geometrycznego: stosunek drugiego wyrazu do pierwszego jest równy stosunkowi trzeciego wyrazu do drugiego:
$\frac{3 x + 2}{x} = \frac{9 x + 16}{3 x + 2}$
Mnożymy na krzyż i rozwiązujemy równanie:
$(3 x + 2)^{2} 9 x^{2} + 12 x + 4 4 x = x (9 x + 16) = 9 x^{2} + 16 x = 4 x = 1$

Podobne zadania z działu ciągi