Zadanie 27 - Matura podstawowa 2020 (wrzesień) - Rozwiązanie

2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 1

lub

x = - \frac{6}{5}

Korzystamy z własności ciągu geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych.
$(4 x + 2)^{2} = (x + 2) (x + 11)$
Przekształcamy równanie do postaci kwadratowej.
$16 x^{2} + 16 x + 4 = x^{2} + 13 x + 22 15 x^{2} + 3 x - 18 = 0 5 x^{2} + x - 6 = 0$
Rozkładamy trójmian na czynniki i wyznaczamy pierwiastki.
$(x - 1) (5 x + 6) = 0 x = 1 lub x = - \frac{6}{5}$
Sprawdzamy oba rozwiązania: dla $x = 1$ otrzymujemy ciąg $(3, 6, 12)$ o ilorazie $2$ , a dla $x = - \frac{6}{5}$ ciąg $(\frac{4}{5}, - \frac{14}{5}, \frac{49}{5})$ o ilorazie $- \frac{7}{2}$ - oba są geometryczne.

Podobne zadania z działu ciągi