Zadanie 5 - Matura rozszerzona 2026 (maj, F. 2015) - Rozwiązanie

2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem rekurencyjnym

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 2 a_{n + 1} = \frac{4}{a _{n}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

8, 2, 8

Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.
$a_{1} = 2 a_{2} = \frac{4}{a _{1}} = \frac{4}{2} = 22 a_{3} = \frac{4}{a _{2}} = \frac{4}{2 2} = \frac{2}{2} = 2$
Zauważamy, że $a_{3} = a_{1}$ , więc ciąg jest okresowy z okresem $2$ : dla $n$ nieparzystych $a_{n} = 2$ , a dla $n$ parzystych $a_{n} = 22$ .
Liczba $10$ jest parzysta, więc $a_{10} = 22$ . Zapisujemy przybliżenie dziesiętne tej liczby.
$a_{10} = 22 = 2, 828427 \dots$
Odczytujemy pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku.
$8, 2, 8$

Podobne zadania z działu ciągi

Wszystkie zadania z działu