Zadanie 10, matura rozszerzona czerwiec 2016

3 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony dla każdej liczby całkowitej

n \geq 1

, w którym

a_{4} = 4

oraz dla każdej liczby

n \geq 1

prawdziwa jest równość

a_{n + 1} = a_{n} + n - 4

. Oblicz pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

a_{1} = 10

Ciąg nie jest malejący, bo

a_{5} = a_{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wzór rekurencyjny pozwala cofać się o jeden wyraz. Wstawiamy $n = 3$ i $a_{4} = 4$ , żeby wyznaczyć $a_{3}$ .
$a_{n + 1} = a_{n} + n - 4 a_{4} = a_{3} + 3 - 4 4 = a_{3} - 1 a_{3} = 5$
2
Tak samo wstawiamy $n = 2$ i $a_{3} = 5$ , żeby wyznaczyć $a_{2}$ .
$a_{3} = a_{2} + 2 - 4 5 = a_{2} - 2 a_{2} = 7$
3
Wstawiamy $n = 1$ i $a_{2} = 7$ , żeby wyznaczyć pierwszy wyraz.
$a_{2} = a_{1} + 1 - 4 7 = a_{1} - 3 a_{1} = 10$
4
W ciągu malejącym każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Sprawdzamy $a_{5}$ , wstawiając $n = 4$ do wzoru rekurencyjnego.
$a_{5} = a_{4} + 4 - 4 a_{5} = a_{4}$
5
Wyrazy $a_{4}$ i $a_{5}$ są równe, więc ciąg nie jest malejący.

Podobne zadania z działu ciągi