Dany jest nieskończony ciąg geometryczny ((√3+1)/4, 1/2, (√3-1)/2, 2-√3, …). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 1 - Matura rozszerzona 2026 (czerwiec, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(\frac{3 + 1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3 - 1}{2}, 2 - 3, \dots)

.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{5 + 3 3}{4}

Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego, dzieląc drugi wyraz przez pierwszy.
$q = \frac{1}{2} : \frac{3 + 1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3 + 1} = \frac{2}{3 + 1}$
Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc przez $3 - 1$ .
$q = \frac{2}{3 + 1} \cdot \frac{3 - 1}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 - 1 )}{3 - 1} = 3 - 1$
Iloraz spełnia $∣ q ∣ < 1$ , więc ciąg ma sumę nieskończoną. Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
$S = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{\frac{3 + 1}{4}}{1 - ( 3 - 1 )} = \frac{\frac{3 + 1}{4}}{2 - 3}$
Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $2 + 3$ .
$S = \frac{3 + 1}{4 ( 2 - 3 )} \cdot \frac{2 + 3}{2 + 3} = \frac{( 3 + 1 ) ( 2 + 3 )}{4 ( 4 - 3 )} = \frac{2 3 + 3 + 2 + 3}{4} = \frac{5 + 3 3}{4}$