Ciąg geometryczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Iloraz tego ciągu jest równy 2/3, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 9/4. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 2, matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Iloraz tego ciągu jest równy

\frac{2}{3}

, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{9}{4}

.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

\frac{3}{4}

1
Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ i podstawiamy dane $S = \frac{9}{4}$ oraz $q = \frac{2}{3}$ .
$\frac{9}{4} = \frac{a _{1}}{1 - \frac{2}{3}}$
2
Upraszczamy mianownik po prawej stronie i wyznaczamy $a_{1}$ .
$\frac{9}{4} = \frac{a _{1}}{\frac{1}{3}} \frac{9}{4} = 3 a_{1} a_{1} = \frac{3}{4}$