Ciąg (bₙ) jest określony wzorem bₙ = 3n² - 25n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu (bₙ) jest równa

Zadanie 14 - Matura podstawowa 2021 (maj) - Rozwiązanie

1 pkt

Ciąg

(b_{n})

jest określony wzorem

b_{n} = 3 n^{2} - 25 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu

(b_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

8

Szukamy wyrazów niedodatnich, czyli rozwiązujemy nierówność kwadratową:
$3 n^{2} - 25 n \leq 0$
Wyłączamy $n$ przed nawias i wyznaczamy miejsca zerowe:
$n (3 n - 25) = 0 ⟹ n = 0 lub n = \frac{25}{3}$
Współczynnik przy $n^{2}$ jest dodatni ( $3 > 0$ ), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukane wyrażenie jest niedodatnie (leży pod osią lub na niej) między miejscami zerowymi:
$0 \leq n \leq \frac{25}{3}$
Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, $n \geq 1$ , a $\frac{25}{3} \approx 8, 33$ , warunek spełniają liczby:
$n \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$
Niedodatnich wyrazów ciągu jest zatem $8$ .