Dany jest ciąg geometryczny (aₙ), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (aₙ) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 14 - Matura podstawowa 2022 (sierpień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu

(a_{n})

są równe

2

. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

31

Iloraz ciągu wynosi $q = 2$ , a drugi wyraz $a_{2} = 2$ . Wyznaczamy pierwszy wyraz:
$a_{2} = a_{1} \cdot q 2 = a_{1} \cdot 2 a_{1} = 1$
Sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru $S_{5} = a_{1} \cdot \frac{q ^{5} - 1}{q - 1}$ :
$S_{5} = 1 \cdot \frac{2 ^{5} - 1}{2 - 1} = \frac{32 - 1}{1} = 31$