Ciągi

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$:

Wzory na sumę $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

Dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ prawdziwa jest równość:

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$:

Wzory na sumę $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego:

Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_n)$ prawdziwa jest równość:

Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n\ge 1$, o ilorazie $q$. Niech $(S_n)$ oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$, to znaczy ciąg określony wzorem $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n$ dla $n\ge 1$.

Jeżeli $|q|<1$, to ciąg $(S_n)$ ma granicę równą:

Granicę tę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_n)$.

Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych. Jeżeli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$, określone dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, są zbieżne i ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ oraz ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=b$, to ciągi $(a_n+b_n)$, $(a_n-b_n)$, $(a_n\cdot b_n)$ są zbieżne, a ponadto:

Jeżeli ponadto $b_n\ne 0$ dla $n\ge 1$ oraz $b\ne 0$, to ciąg $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ jest zbieżny i

Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli wyrazy ciągów $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$, określonych dla $n\ge 1$, spełniają nierówność $a_n\le b_n\le c_n$ dla $n\ge 1$, a ciągi $(a_n)$ i $(c_n)$ są zbieżne do wspólnej granicy ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=g$, to ciąg $(b_n)$ jest zbieżny, a ponadto ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=g$.

Procent składany. Jeżeli kapitał początkowy $K_0$ złożymy na okres $n$ lat na lokacie bankowej, której oprocentowanie wynosi $p\%$ w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy $K_n$ jest określony wzorem:

Wybrane granice: