Zadanie 5, matura rozszerzona czerwiec 2017

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{1}{4}

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{7}

Wprowadzamy oznaczenia:
- $a$ - pierwszy wyraz ciągu
- $q = 3 a$ - iloraz ciągu
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi $\frac{a}{1 - q}$ i istnieje, gdy $∣ q ∣ < 1$ . Przyrównujemy ją do $\frac{1}{4}$ .
$\frac{a}{1 - 3 a} = \frac{1}{4} 4 a = 1 - 3 a 7 a = 1 a = \frac{1}{7}$
Sprawdzamy warunek zbieżności: iloraz $q = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$ spełnia $∣ q ∣ < 1$ , więc suma istnieje.

Podobne zadania z działu ciągi

Matura rozszerzona lipiec 2020, zadanie 6Pierwszy wyraz ciągu (aₙ), określonego dla n ≥ 1, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek…
Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 1W chwili początkowej (t = 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji…
Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 1Dany jest nieskończony ciąg geometryczny ((√3+1)/4, 1/2, (√3-1)/2, 2-√3, …). Suma wszystkich wyrazów tego…
Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015), zadanie 5Ciąg (aₙ) jest określony wzorem rekurencyjnym a₁ = √2 aₙ₊₁ = 4/(aₙ) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1.…
Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015), zadanie 2Ciąg geometryczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Iloraz tego ciągu jest równy 2/3, a…
Matura rozszerzona maj 2018 (F. 2005), zadanie 2Liczby a, b, c, spełniające warunek 3a + b + 3c = 77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem…

Wszystkie zadania z działu