Zadanie 10, matura rozszerzona maj 2025 (F. 2015)

4 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu

a_{1} + a_{3} = 20

a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 328

.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

Poprawna odpowiedź

S = \frac{27}{2}

lub

S = 27

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_{n})$ . Z pierwszego warunku $a_{3} = 20 - a_{1}$ . Podstawiamy to do drugiego warunku i rozwiązujemy równanie z niewiadomą $a_{1}$ .
$a_{1}^{2} + (20 - a_{1})^{2} = 328 2 a_{1}^{2} - 40 a_{1} + 72 = 0 a_{1}^{2} - 20 a_{1} + 36 = 0 a_{1} = 2 \lor a_{1} = 18$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu ciągi