Zadanie 1, matura rozszerzona maj 2023

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) masa substancji jest równa

4

gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa

19%

masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej

t \geq 0

funkcja

m (t)

określa masę substancji w gramach po

t

pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji

m (t)

. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od

1, 5

grama. Zapisz obliczenia.

m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}

; po

5

dobach

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Po każdej dobie ubywa $19%$ masy, więc zostaje $81%$ masy z poprzedniej doby. Kolejne masy $m (0), m (1), m (2), \dots$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $4$ i ilorazie $0, 81$ .
$m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}$
2
Masa maleje z każdą dobą, więc szukamy pierwszego $t$ , dla którego spadnie poniżej $1, 5$ grama.
$m (4) = 4 \cdot 0, 8 1^{4} \approx 1, 72 > 1, 5 m (5) = 4 \cdot 0, 8 1^{5} \approx 1, 39 < 1, 5$
3
Masa substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1, 5$ grama po pięciu dobach.

Podobne zadania z działu ciągi