Zadanie 17 - Matura podstawowa 2023 (sierpień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

128

, natomiast iloraz ciągu jest równy

(- \frac{1}{2})

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyraz $a_{2023}$ jest liczbą ujemną.	P	F
Różnica $a_{3} - a_{2}$ jest równa $96$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} = 128 \cdot (- \frac{1}{2})^{n - 1}$
Sprawdzamy znak wyrazu $a_{2023}$ : wykładnik $n - 1 = 2022$ jest parzysty, więc $(- \frac{1}{2})^{2022}$ jest dodatnia, a zatem $a_{2023}$ jest liczbą dodatnią, zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Obliczamy wyrazy $a_{2}$ i $a_{3}$ :
$a_{2} = 128 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 64, a_{3} = 128 \cdot (- \frac{1}{2})^{2} = 128 \cdot \frac{1}{4} = 32$
Obliczamy różnicę:
$a_{3} - a_{2} = 32 - (- 64) = 96$
Drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

Podobne zadania z działu ciągi